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Concept
Méthodes de calcul d'intégrales de contour
Résumé
En analyse complexe, lintégration de contour est une technique de calcul d'intégrale le long de chemins sur le plan complexe
L'intégration de contour est fortement liée au calculs de résidus, une méthode de calcul utilisée pour évaluer des intégrales curvilignes sur l'axe des réelles, que les outils de la théorie de l'intégration ne permettent pas de calculer par une simple analyse réelle
Les méthodes d'intégration de contour incluent :
l'intégration directe d'une fonction à valeurs complexes le long d'une courbe du plan complexe (ledit contour) ;
une application de la formule intégrale de Cauchy ;
l'application du théorème des résidus.
Ces méthodes peuvent être combinées pour obtenir les résultats attendus.
Les contours donnent une définition précise des courbes sur lesquelles une intégrale peut être exactement définie. Une courbe du plan complexe est donc une fonction continue renvoyant un intervalle réel fermé sur le plan complexe : z : [a, b] → C.
Cette définition coïncide avec la notion intuitive d'une courbe, mais inclut une paramétrisation par une fonction continue à partir d'un intervalle fermé. Cette définition plus précise permet de réfléchir aux propriétés que doit avoir une courbe pour qu'elle soit utile à l'intégration. Dans les sous-sections suivantes, on réduira l'ensemble de courbes intégrables pour n'inclure que celles qui peuvent être construites à partir d'un nombre fini de courbes continues, auxquelles on peut donner une direction. De plus, on empêchera les "morceaux" de se croiser, et on imposera que chaque morceau ait une dérivée continue finie (non nulle). Ces exigences permettent de ne considérer que les courbes qui peuvent être tracées, comme par un stylo, dans une séquence de traits constants et réguliers, qui ne s'arrêtent que pour commencer un nouveau morceau de la courbe, le tout sans relever le stylo.
Les contours sont définis comme des courbes régulières orientées. On peut ainsi définir précisément un "morceau" d'une courbe lisse, dont on trace un contour.
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