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Concept
Théorème intégral de Cauchy
Résumé
En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy, ou de Cauchy-Goursat, est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe « entre » les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales.
Le théorème est habituellement formulé pour les lacets (c'est-à-dire les chemins dont le point de départ est confondu avec le point d'arrivée) de la manière suivante.
La condition que U est simplement connexe signifie que U n'a pas de « trou » ; par exemple, tout disque ouvert satisfait à cette condition.
La condition est cruciale ; par exemple, si γ est le cercle unité alors l'intégrale sur ce lacet de la fonction f(z) = 1/z est non nulle ; le théorème intégral de Cauchy ne s'applique pas ici puisque f n'est pas prolongeable par continuité en 0.
Par des arguments de continuité uniforme de f sur des ε-voisinages compacts de l'image de γ dans U, l'intégrale de f sur γ est limite d'intégrales de f sur des lacets polygonaux. Il suffit alors, pour conclure, d'invoquer le lemme de Goursat.
On peut également, dans le cas où f est holomorphe en tout point de U, considérer la famille de lacets avec .
Sous les hypothèses du théorème, f possède sur U une primitive complexe F. En effet, quitte à remplacer U par l'une de ses composantes connexes, on peut supposer que U est connexe. En fixant alors un point arbitraire z de U et en posant,où P(z) est n'importe quel chemin rectifiable dans U de z à z (d'après le théorème, la valeur de F(z) ne dépend pas du choix de P(z)) et en adaptant à la variable complexe la démonstration du premier théorème fondamental de l'analyse, on en déduit alors que F est holomorphe sur U et que F’ = f.
Pour une telle primitive on a immédiatement : pour tout chemin continûment différentiable par morceaux γ de a à b dans U :.
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