En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy, ou de Cauchy-Goursat, est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe « entre » les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales.
Le théorème est habituellement formulé pour les lacets (c'est-à-dire les chemins dont le point de départ est confondu avec le point d'arrivée) de la manière suivante.
La condition que U est simplement connexe signifie que U n'a pas de « trou » ; par exemple, tout disque ouvert satisfait à cette condition.
La condition est cruciale ; par exemple, si γ est le cercle unité alors l'intégrale sur ce lacet de la fonction f(z) = 1/z est non nulle ; le théorème intégral de Cauchy ne s'applique pas ici puisque f n'est pas prolongeable par continuité en 0.
Par des arguments de continuité uniforme de f sur des ε-voisinages compacts de l'image de γ dans U, l'intégrale de f sur γ est limite d'intégrales de f sur des lacets polygonaux. Il suffit alors, pour conclure, d'invoquer le lemme de Goursat.
On peut également, dans le cas où f est holomorphe en tout point de U, considérer la famille de lacets avec .
Sous les hypothèses du théorème, f possède sur U une primitive complexe F. En effet, quitte à remplacer U par l'une de ses composantes connexes, on peut supposer que U est connexe. En fixant alors un point arbitraire z de U et en posant,où P(z) est n'importe quel chemin rectifiable dans U de z à z (d'après le théorème, la valeur de F(z) ne dépend pas du choix de P(z)) et en adaptant à la variable complexe la démonstration du premier théorème fondamental de l'analyse, on en déduit alors que F est holomorphe sur U et que F’ = f.
Pour une telle primitive on a immédiatement : pour tout chemin continûment différentiable par morceaux γ de a à b dans U :.
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En analyse complexe, lintégration de contour est une technique de calcul d'intégrale le long de chemins sur le plan complexe L'intégration de contour est fortement liée au calculs de résidus, une méthode de calcul utilisée pour évaluer des intégrales curvilignes sur l'axe des réelles, que les outils de la théorie de l'intégration ne permettent pas de calculer par une simple analyse réelle Les méthodes d'intégration de contour incluent : l'intégration directe d'une fonction à valeurs complexes le long d'une c
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En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe. Dans cet article, Γ est un arc orienté dans R, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée t ↦ γ(t), avec t ∈ [a, b].
Le cours étudie les concepts fondamentaux de l'analyse complexe et de l'analyse de Laplace en vue de leur utilisation
pour résoudre des problèmes pluridisciplinaires d'ingénierie scientifique.
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