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Concept
Intégrale curviligne
Résumé
En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe.
Dans cet article, Γ est un arc orienté dans R, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée t ↦ γ(t), avec t ∈ [a, b].
On définit l'intégrale curviligne d'un champ scalaire continu comme l'intégrale de Stieltjes de f∘γ par rapport à l'abscisse curviligne s(t) (longueur de l'arc γ restreint à [a, t]) :
c'est-à-dire la limite, quand le pas de la subdivision pointée de [a, b] tend vers 0, des sommes de Riemann associées :
où la subdivision pointée est notée : a = t < t < ... < t = b, t' ∈ [t, t].
Cette définition ne dépend pas du paramétrage de Γ, ni de l'orientation.
La longueur s(b) de l'arc Γ est l'intégrale curviligne de la fonction constante 1.
Si γ est de classe C,
On définit également la circulation le long de Γ d'un champ vectoriel continu comme une intégrale de Stieltjes :
où ∙ désigne le produit scalaire.
Cette définition ne dépend pas du paramétrage de Γ mais dépend de l'orientation (l'intégrale est changée en son opposée quand la courbe est parcourue en sens inverse).
On peut reformuler cette définition en notant ω la 1-forme différentielle « produit scalaire par f » : si ω est une 1-forme différentielle continue sur le support de Γ, on définit l'intégrale curviligne de ω le long de Γ par :
où ⟨∙, ∙⟩ est le crochet de dualité.
Si γ est de classe C,
Pour n = 2 et en identifiant R au plan complexe, on définit l'intégrale curviligne d'une fonction continue comme l'intégrale de la 1-forme différentielle :
Si γ est de classe C,
Lorsque Γ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident), il arrive qu'on utilise la notation :
Soit la fonction f(z) = 1/z, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par eit, avec t parcourant [0, 2π].
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