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Concept
Relation de commutation canonique
Résumé
En mécanique quantique, la relation de commutation canonique est la relation fondamentale entre les grandeurs conjuguées canoniques (grandeurs qui sont liées par définition telles que l'une est la transformée de Fourier d'une autre). Par exemple :
entre l'opérateur de position x et l'opérateur d'impulsion px dans la direction x d'une particule ponctuelle dans une dimension, où est le commutateur de x et px , i est l'unité imaginaire, et est la constante de Planck réduite . En général, la position et l'impulsion sont des vecteurs d'opérateurs et leur relation de commutation entre les différentes composantes de la position et de l'impulsion peut être exprimée comme :
où est le delta de Kronecker .
Cette relation est attribuée à Max Born (1925), qui l'appelait une « condition quantique » servant de postulat à la théorie ; il a été noté par E. Kennard (1927) pour impliquer le principe d'incertitude de Heisenberg. Le théorème de Stone-von Neumann donne un résultat d'unicité pour les opérateurs satisfaisant (une forme exponentielle de) la relation de commutation canonique.
En revanche, en physique classique, toutes les observables commutent et le commutateur serait nul. Cependant, une relation analogue existe, qui s'obtient en remplaçant le commutateur par le crochet de Poisson multiplié par :
Cette observation a conduit Dirac à proposer que les homologues quantiques f̂ ĝ aux classiques f g satisfont :
En 1946, Hip Groenewold a démontré qu'une correspondance systématique générale entre les commutateurs quantiques et les crochets de Poisson ne pouvait pas être cohérente.
Cependant, il a en outre apprécié qu'une telle correspondance systématique existe en fait entre le commutateur quantique et une déformation du crochet de Poisson, aujourd'hui appelé crochet de Moyal, et, en général, les opérateurs quantiques et les observables classiques et les distributions dans l'espace des phases. Il a ainsi finalement élucidé le mécanisme de correspondance cohérent, la transformée de Wigner-Weyl, qui sous-tend une représentation mathématique équivalente alternative de la mécanique quantique connue sous le nom de quantification de déformation.
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