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Concept
Symbole de Kronecker (théorie des nombres)
Résumé
En théorie des nombres, le symbole de Kronecker, écrit comme ou , est une généralisation du symbole de Jacobi à tous les entiers . Il a été introduit par Leopold Kronecker en 1885.
Soit être un entier non nul, factorisé comme
où est une unité (c'est-à-dire ), et les sont premiers. Soit un entier. Le symbole Kronecker est défini par
Pour impair, le nombre est tout simplement le symbole de Legendre habituel. On définit par
Puisqu'il prolonge le symbole Jacobi, la quantité vaut simplement lorsque . Lorsque , nous le définissons par
Enfin, nous posons
Ces extensions suffisent à définir le symbole de Kronecker pour toutes les valeurs entières .
Certains auteurs ne définissent le symbole Kronecker que pour des valeurs plus restreintes ; par exemple, congru à et .
Ce qui suit est un tableau des valeurs du symbole Kronecker avec 1 ≤ n, k ≤ 30.
Le symbole Kronecker partage plusieurs propriétés avec le symbole de Jacobi, sous certaines restrictions :
si , et sinon.
sauf si , un des est nul et l'autre est négatif.
sauf si , un des est nul et l'autre a une partie impaire (définition ci-dessous) congruente à .
Pour , on a dès que Si de plus ont le même signe, il en va de même pour .
Pour , , on a dès que
À la différence du symbole de Jacobi, le symbole de Kronecker n'a pas le même lien avec les résidus quadratiques. En particulier, le symbole Kronecker pour pair peut prendre des valeurs indépendamment du fait que est un résidu quadratique ou un non-résidu modulo .
Le symbole de Kronecker satisfait les versions suivantes de la loi de réciprocité quadratique.
Pour tout entier non nul , soit la partie impaire de : où est impair (pour , nous posons ). Alors la version symétrique suivante de la réciprocité quadratique est valable pour chaque paire d'entiers tel que :
où le signe est égal à si ou et est égal à si et .
Il existe également une version équivalente non symétrique de la réciprocité quadratique qui vaut pour chaque paire d'entiers premiers entre eux:
Pour tout entier soit .
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