Caractère de Dirichlet

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, un caractère de Dirichlet est une fonction particulière sur un ensemble de classes de congruences sur les entiers et à valeurs complexes. Elle a été utilisée par Dirichlet pour la démonstration de son théorème de la progression arithmétique. Dans cet article, n désigne un entier strictement positif et U le groupe des unités (Z/nZ) de l'anneau Z/nZ. Dans le corps C des nombres complexes, le conjugué d'un nombre c est noté . Il existe deux définitions d'un caractère de Dirichlet : Un caractère de Dirichlet modulo n est un caractère du groupe fini (Z/nZ), c'est-à-dire un morphisme de groupes de (Z/nZ) dans le groupe multiplicatif C* des complexes non nuls. Dans la seconde définition, un caractère de Dirichlet est un type particulier de fonction arithmétique, c'est-à-dire d'application de l'ensemble N* des entiers strictement positifs dans C : Un caractère de Dirichlet modulo n est une fonction arithmétique qui est : complètement multiplicative ; n-périodique ; nulle sur les entiers non premiers avec n. Les caractères χ de la première définition sont en bijection avec les caractères χ' de la seconde : si la classe dans Z/nZ d'un entier d appartient à U alors χ'(d) est l'image par χ de cette classe et sinon, χ'(d) = 0. Si d est un diviseur de n, tout caractère de Dirichlet modulo d peut être vu comme un caractère de Dirichlet modulo n, par composition avec la projection (Z/nZ) → (Z/dZ). vignette|caractère de Dirichlet non principal modulo 6On dit qu'un caractère de Dirichlet modulo n est primitif s'il ne vient pas d'un caractère de Dirichlet modulo un diviseur strict de n ; dans ce cas, n est appelé le conducteur du caractère. C'est le cas en particulier si son noyau est trivial, mais l'inverse est faux : il y a par exemple un caractère primitif pour n = 12 de noyau non trivial. Le caractère de Dirichlet valant 1 sur les entiers premiers avec n et 0 ailleurs est appelé caractère principal (ou caractère de conducteur 1) modulo n.