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Concept
Caractère de Dirichlet
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, un caractère de Dirichlet est une fonction particulière sur un ensemble de classes de congruences sur les entiers et à valeurs complexes.
Elle a été utilisée par Dirichlet pour la démonstration de son théorème de la progression arithmétique.
Dans cet article, n désigne un entier strictement positif et U le groupe des unités (Z/nZ) de l'anneau Z/nZ. Dans le corps C des nombres complexes, le conjugué d'un nombre c est noté .
Il existe deux définitions d'un caractère de Dirichlet :
Un caractère de Dirichlet modulo n est un caractère du groupe fini (Z/nZ), c'est-à-dire un morphisme de groupes de (Z/nZ) dans le groupe multiplicatif C* des complexes non nuls.
Dans la seconde définition, un caractère de Dirichlet est un type particulier de fonction arithmétique, c'est-à-dire d'application de l'ensemble N* des entiers strictement positifs dans C :
Un caractère de Dirichlet modulo n est une fonction arithmétique qui est :
complètement multiplicative ;
n-périodique ;
nulle sur les entiers non premiers avec n.
Les caractères χ de la première définition sont en bijection avec les caractères χ' de la seconde : si la classe dans Z/nZ d'un entier d appartient à U alors χ'(d) est l'image par χ de cette classe et sinon, χ'(d) = 0.
Si d est un diviseur de n, tout caractère de Dirichlet modulo d peut être vu comme un caractère de Dirichlet modulo n, par composition avec la projection (Z/nZ) → (Z/dZ).
vignette|caractère de Dirichlet non principal modulo 6On dit qu'un caractère de Dirichlet modulo n est primitif s'il ne vient pas d'un caractère de Dirichlet modulo un diviseur strict de n ; dans ce cas, n est appelé le conducteur du caractère. C'est le cas en particulier si son noyau est trivial, mais l'inverse est faux : il y a par exemple un caractère primitif pour n = 12 de noyau non trivial.
Le caractère de Dirichlet valant 1 sur les entiers premiers avec n et 0 ailleurs est appelé caractère principal (ou caractère de conducteur 1) modulo n.
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