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Concept
Suite de Lucas
Résumé
En mathématiques, les suites de Lucas U(P, Q) et V(P, Q) associées à deux entiers P et Q sont deux suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à valeurs entières qui généralisent respectivement la suite de Fibonacci et celle de Fibonacci-Lucas, correspondant aux valeurs P = 1 et Q = –1.
Elles doivent leur nom au mathématicien français Édouard Lucas.
Soient P et Q deux entiers non nuls tels que
(pour éviter les cas dégénérés).
Les suites de Lucas U(P, Q) et V(P, Q) sont définies par les relations de récurrence linéaire
et
Notons l'une des deux racines carrées de Δ (éventuellement dans C).
Puisque Δ ≠ 0, le polynôme caractéristique associé à la récurrence X – PX + Q possède deux racines distinctes
Alors U(P, Q) et V(P, Q) peuvent aussi être définies en fonction de a et b par l'analogue suivant de la formule de Binet :
dont on peut tirer les relations
Les nombres dans les suites de Lucas satisfont à de nombreuses relations, qui généralisent celles entre les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. Par exemple :
et
en particulier
et
De la deuxième identité ci-dessus, (**) U = UU – QUU, on déduit immédiatement (par récurrence sur k) que U est toujours un multiple de U : on dit que la suite U(P, Q) est à divisibilité faible.
Pour qu'elle soit même à divisibilité forte, c'est-à-dire que pgcd(U, U) soit non seulement divisible par U mais égal (au signe près), il faut et il suffit que P et Q soient premiers entre eux.
Si la suite est à divisibilité forte alors 1 = U = pgcd(U, U) = pgcd(P, P – Q) = pgcd(P, Q).
Réciproquement, supposons que pgcd(P, Q) = 1 et montrons d'abord par récurrence que pour tout n ≥ 1, U est premier avec Q.
L'initialisation est immédiate, et l'hérédité se déduit (grâce au lemme de Gauss) de pgcd(U, Q) = pgcd(PU, Q) et de l'hypothèse.
On déduit ensuite de cette propriété, jointe à l'identité UU – UU = QU, que pgcd(U, U) divise pgcd(U, U) pour 0 < r < n donc (par anthyphérèse) pgcd(U, U) divise U. La divisibilité forte s'ensuit.
est la suite de Fibonacci et la suite de Fibonacci-Lucas.
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