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Concept
Sous-groupe à un paramètre
Résumé
Un sous-groupe à un paramètre d'un groupe de Lie réel G est un morphisme de groupes de Lie c : R → G. Plus explicitement, c est une application différentiable vérifiant :
En dérivant cette relation par rapport à la variable s et en évaluant en s = 0, il vient :
où Lc(t) désigne la multiplication à gauche par c(t). Un sous-groupe à un paramètre s'obtient comme orbite de l'élément neutre par un champ de vecteurs invariant à gauche de G. Un tel champ X est déterminé par sa valeur X(e) en l'élément neutre e. Il y a donc correspondance univoque entre sous-groupe à un paramètre et l'espace tangent g de G en e :
à tout sous-groupe à un paramètre c de G est associé le vecteur c(0) de g ;
à tout vecteur v de g est associé le sous-groupe à un paramètre c : R → G défini par l'équation différentielle c '(t) = TeLc(t)[v] et la condition initiale c '(0) = v.
Les sous-groupes à un paramètre interviennent naturellement dans la définition de l'application exponentielle du groupe de Lie G :
l'application exponentielle est l'application exp : g → G définie par exp(v) = c(1) où c est le sous-groupe à un paramètre de G associé à X ;
tout sous-groupe à un paramètre c s’écrit de manière unique c(t) = exp(t.v) où v = c '(0).
Tout espace vectoriel réel E de dimension finie est un groupe de Lie, la loi interne étant l'addition vectorielle. L'espace tangent en 0 de E s'identifie naturellement avec E en tant qu'espace vectoriel réel. Les sous-groupes à un paramètre de E sont simplement les applications t ↦ t.v où v parcourt E : ce sont les droites vectorielles paramétrées de E.
La classification des groupes de Lie commutatifs est connue et élémentaire. Tout groupe de Lie commutatif G se réalise comme quotient d'un espace vectoriel E par un sous-groupe discret, un sous-réseau de E. Les sous-groupes à un paramètre de G s'obtiennent donc par passage au quotient des droites paramétrées de E.
Un exemple important est le tore R/Z. Les sous-groupes à un paramètre sont les applications cv : t → t.v mod Z où v parcourt R.
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