Concept

Tore de Clifford

Résumé

droite|vignette|255x255px|Projection stéréographique d'un tore de Clifford en rotation. En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, le tore de Clifford, nommé d'après William Kingdon Clifford, est le plongement le plus simple et le plus symétrique du 2-tore (c'est-à-dire du produit cartésien de deux cercles) dans l'espace R4. Projeté dans l'espace à trois dimensions (par exemple en projection stéréographique) il conserve sa topologie (et peut même s'identifier au tore ordinaire), mais il est impossible de conserver son absence de courbure. En prenant pour les deux cercles le rayon , le tore de Clifford peut s'identifier à un sous-ensemble de la 3-sphère unité ; on peut aussi le représenter dans le plan C2 comme l'ensemble des points dont les deux coordonnées sont de module 1. Le tore de Clifford est obtenu (en tant que variété riemanienne) en identifiant les bords opposé d'un carré ; la géométrie correspondante est donc euclidienne. Le cercle unité S1 dans R2 peut être paramétré par . Une autre copie étant paramétrée par un angle indépendant , on définit le tore de Clifford comme le produit cartésien où le facteur assure que tous les points sont dans la 3-sphère unité S3. Dans le plan complexe C, le cercle unité peut se représenter par ; le tore de Clifford s'identifie donc au sous-ensemble de C2 ; autrement dit, ce sont les points de C2 dont les coordonnées (z1, z2) vérifient. Le tore de Clifford peut également se paramétrer à l'aide des coordonnées de Hopf : tout point de la 3-sphère s'écrit , le tore correspond à et il partage la 3-sphère en deux régions isomorphes au tore plein : et , et transformées l'une en l'autre par la symétrie centrale . Le calcul des dérivées partielles de ces paramétrages et l'équation d'Euler-Lagrange permettent de montrer que le tore de Clifford est une surface minimale de S3. Plus généralement, avec la représentation paramétrique précédente, les points de la 3-sphère ayant pour coordonnées , avec fixé différent de , forment encore un tore appelé souvent également tore de Clifford (mais ce n'est plus une surface minimale en général).

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tore_de_Clifford

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