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Concept
Disjonction logique
Résumé
La disjonction logique, ou disjonction non exclusive, de deux assertions est une façon d'affirmer qu'au moins une de ces deux assertions est vraie (la première, la deuxième, ou les deux).
Dans le langage logique ou mathématique, et dans les domaines techniques qui l'emploient, elle se traduit par le OU logique, un opérateur logique dans le calcul des propositions. La proposition obtenue en reliant deux propositions par cet opérateur s'appelle également leur disjonction ou leur somme logique. La disjonction de deux propositions P et Q est vraie quand l'une des propositions est vraie, et est fausse quand les deux sont simultanément fausses.
En théorie de la démonstration, plus particulièrement dans la déduction naturelle et le calcul des séquents, la disjonction est régie par des règles d'introduction et des règles d'élimination.
La disjonction s'écrit : et se lit Le symbole « ∨ » s'appelle connecteur de disjonction.
La table de vérité d’une disjonction est donnée par le tableau suivant :
Note : Boole, par analogie étroite avec les mathématiques ordinaires, imposa dans la définition de x + y, la condition d'exclusion mutuelle de x et y. William Jevons, et pratiquement tous les logiciens en mathématiques qui lui succédèrent, préconisèrent pour diverses raisons l'emploi d'une définition de la somme logique ne rendant pas obligatoire l'exclusion mutuelle.
La disjonction que nous avons décrite est un opérateur binaire, ce qui signifie qu'elle combine deux propositions en une seule. Cependant, nous pouvons enchaîner des disjonctions, en considérant par exemple A ∨ B ∨ C, qui est par définition l'une ou l'autre des deux propositions logiquement équivalentes (A ∨ B) ∨ C ou A ∨ (B ∨ C). Cette proposition est vraie quand l'une des propositions A, B, ou C est vraie. L'enchaînement des conjonctions est rendu possible grâce à l'associativité du ∨. L'opérateur est également commutatif ; A ∨ B est équivalent à B ∨ A.
Soient P, Q et R trois propositions.
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