Espace complètement métrisable

Un espace complètement métrisable (ou espace métriquement topologiquement complet) est un espace topologique (X, T) pour lequel il existe au moins une distance d sur X telle d induit la topologie T (c'est-à-dire que X est métrisable) et fait de (X, d) un espace métrique complet. Le terme d'espace topologiquement complet est employé par certains auteurs comme synonyme despace complètement métrisable, mais parfois aussi utilisé pour d'autres classes d'espaces topologiques, comme les espaces complètement uniformisables ou les espaces Čech-complets. La notion d'espace complètement métrisable est distincte de celle d'''espace complet. En effet, la complétude est une propriété d'un espace métrique. Autrement dit, un espace est complet pour une distance donnée ; la distance fait partie de la définition de la complétude. Pour un espace complètement métrisable, on suppose seulement quil existe au moins une distance compatible avec la topologie pour laquelle l'espace soit complet. Après avoir choisi une de ces distances compatibles, on obtient un espace complet. La métricabilité-complète est donc plutôt une propriété topologique, par rapport à la complétude qui est une propriété de la distance. On peut résumer cette distinction en disant que la catégorie des espaces complètement métrisables est une sous-catégorie de celle des espaces topologiques, alors que la catégorie des espaces métriques complets ne l'est pas (elle est plutôt une sous-catégorie de la catégorie des espaces métriques). L'intervalle ouvert unité ] 0,1 [ n'est pas un espace métrique complet pour la distance usuelle héritée de ; mais il est complètement métrisable puisqu'il est homéomorphe à . L'espace des nombres rationnels muni de la topologie induite de est métrisable mais pas complètement métrisable. Un espace topologique X est complètement métrisable si et seulement si X est métrisable et est un Gδ dans sa compactification de Stone-Čech βX . Un sous-ensemble d'un espace complètement métrisable est complètement métrisable si et seulement s'il est un Gδ dans .

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