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Concept
Module indécomposable
Résumé
En algèbre abstraite, un module est indécomposable s'il est non nul et ne peut pas être écrit comme une somme directe de deux sous-modules non nuls.
L'indécomposabilité des modules est une notion plus faible que leur simplicité (qui est aussi parfois appelée irréductibilité).
Une somme directe d'indécomposables est dite complètement décomposable, notion qui est donc plus faible que d'être semi-simple (somme directe de modules simples).
Dans de nombreuses situations, tous les modules auxquels on s'intéresse sont complètement décomposables ; les modules indécomposables peuvent alors être pensés comme les briques élémentaires à étudier. C'est le cas pour les modules sur un corps ou un anneau principal, et sous-tend la décomposition de Jordan.
Les modules sur les corps sont les espaces vectoriels. Un espace vectoriel est indécomposable si et seulement si sa dimension est 1. Ainsi, tout espace vectoriel est complètement décomposable (en fait, semi-simple), avec une infinité de composantes si la dimension est infinie.
Les modules de type fini sur des anneaux principaux sont classés par le théorème de structure des modules de type fini sur un anneau principal : la décomposition primaire est une décomposition en modules indécomposables, donc tout module de type fini sur un anneau principal est complètement décomposable.
Explicitement, les modules de la forme pour des idéaux premiers p (y compris , qui donne R) sont indécomposables. Tout R-module de type fini est une somme directe de ceux-ci. Notez qu'il est simple si et seulement si (ou ) ; par exemple, le groupe cyclique d'ordre 4, Z/4Z, est indécomposable mais non simple – il possède le sous-groupe 2Z/4Z d'ordre 2, mais ce dernier n'a pas de complément.
Sur l'anneau Z des entiers (qui est principal), les modules sont les groupes abéliens. Un groupe abélien de type fini est indécomposable si et seulement s'il est isomorphe à Z ou à un groupe cyclique d'ordre primaire. Tout groupe abélien de type fini est donc une somme directe d'un nombre fini de groupes abéliens indécomposables.
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