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Concept
Lemme d'Euclide
Résumé
vignette|Le lemme d'Euclide est tiré des Éléments, ouvrage fondateur des mathématiques occidentales.
En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il s'énonce ainsi :
Une généralisation est :
Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c.
Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2), qu'il utilise pour prouver l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier (théorème 16), admettant l'existence comme . De cette existence et unicité, il déduit alors « son » lemme (article 19).
Les noms de ces deux propositions sont parfois confondus. On notera par ailleurs que le lemme « de Gauss » apparaît déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet au .
Le lemme de Gauss se généralise à tout anneau (commutatif, unitaire) intègre à PGCD, en particulier à tout anneau principal comme celui des polynômes sur un corps.
Cette preuve est essentiellement celle de Gauss, qui raisonne par l'absurde, en supposant l'existence d'un nombre premier p et d'entiers naturels a et b non divisibles par p tels que p divise ab. Il choisit d'abord un tel triplet (p, a, b) tel que b soit le plus petit possible (pour p et a fixés). Alors, 1 < b < p (par réduction de b modulo p). Il note ensuite b le reste de la division euclidienne de p par b. Ainsi, p = mb + b, donc ab = ap – mab est multiple de p, car ab est multiple de p par hypothèse. Comme , ceci contredit la minimalité de b, concluant ainsi le raisonnement par l'absurde.
Soient a, b et c trois entiers, avec PGCD(a, b) = 1 et a|bc.
Puisque a divise à la fois ac et bc, il divise leur PGCD, or PGCD(ac, bc) = PGCD(a, b)×c = 1×c = c.
La démonstration pour n'importe quel anneau intègre à PGCD est identique. La démonstration classique pour l'anneau des entiers utilise le théorème de Bézout et s'étend donc seulement aux anneaux de Bézout.
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