Concept
Lemme du serpent
Concepts associés (12)
Suite exacte
En mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l' de l'un est égale au noyau du suivant. Dans le contexte de la théorie des groupes, on dit que la suite (finie ou infinie) de groupes et de morphismes de groupes est exacte si pour tout entier naturel n on a . Dans ce qui précède, sont des groupes et des morphismes de groupes avec . Dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.
Homological algebra
Homological algebra is the branch of mathematics that studies homology in a general algebraic setting. It is a relatively young discipline, whose origins can be traced to investigations in combinatorial topology (a precursor to algebraic topology) and abstract algebra (theory of modules and syzygies) at the end of the 19th century, chiefly by Henri Poincaré and David Hilbert. Homological algebra is the study of homological functors and the intricate algebraic structures that they entail; its development was closely intertwined with the emergence of .
Diagramme commutatif
En mathématiques, et plus spécialement dans les applications de la théorie des catégories, un diagramme commutatif est un diagramme d'objets et de morphismes tels que, si l'on suit à travers le diagramme un chemin d'un objet à un autre, le résultat par composition des morphismes ne dépend que de l'objet de départ et de l'objet d'arrivée. Cette définition peut être visualisée par le dessin élémentaire ci-contre. On se place dans la catégorie Ens. Les objets sont les ensembles A, B et C en réalité tous égaux ici à {1,2,3,4}.
Catégorie des groupes
En mathématiques, la catégorie des groupes est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes. La catégorie des groupes, notée Grp, est définie de la manière suivante : Ses objets sont les groupes ; Les morphismes sont les morphismes de groupes, munis de la composition usuelle de fonctions, l'identité étant l'application identité. En théorie des catégories supérieures il est parfois pratique de voir les groupes comme des groupoïdes possédant un unique objet, les flèches de cet unique objet vers lui-même étant dénotées par les éléments du groupe lui-même.
Lemme des cinq
En algèbre homologique, le lemme des cinq permet d'établir l'injectivité et la surjectivité des flèches dans les diagrammes commutatifs. Précisément : en supposant 1) que le diagramme ci-dessous est commutatif 2) que les deux lignes du diagramme sont exactes 3) que et sont des isomorphismes 4) que est un épimorphisme et un monomorphisme alors est un isomorphisme. Ceci vaut non seulement dans une catégorie abélienne (comme celle des groupes abéliens, ou celle des espaces vectoriels sur un corps fixé) mais aussi, par exemple, dans la catégorie des groupes.
Zig-zag lemma
In mathematics, particularly homological algebra, the zig-zag lemma asserts the existence of a particular long exact sequence in the homology groups of certain chain complexes. The result is valid in every . In an abelian category (such as the category of abelian groups or the category of vector spaces over a given field), let and be chain complexes that fit into the following short exact sequence: Such a sequence is shorthand for the following commutative diagram: where the rows are exact sequences and each column is a chain complex.
Théorème de plongement de Mitchell
Le théorème de plongement de Mitchell, aussi connu sous le nom du théorème de Freyd-Mitchell, est un énoncé important portant sur les catégories abéliennes ; il énonce que ces catégories, bien que définies abstraitement, sont en fait des catégories concrètes de modules. Ceci permet alors de partir à la chasse au diagramme dans de telles catégories. Ce théorème est attribué aux mathématiciens Barry Mitchell et Peter Freyd.
Nine lemma
In mathematics, the nine lemma (or 3×3 lemma) is a statement about commutative diagrams and exact sequences valid in the category of groups and any . It states: if the diagram to the right is a commutative diagram and all columns as well as the two bottom rows are exact, then the top row is exact as well. Likewise, if all columns as well as the two top rows are exact, then the bottom row is exact as well. Similarly, because the diagram is symmetric about its diagonal, rows and columns may be interchanged in the above as well.
Foncteur dérivé
En mathématiques, certains foncteurs peuvent être dérivés pour obtenir de nouveaux foncteurs liés de manière naturelle par des morphismes à ceux de départs. Cette notion abstraite permet d'unifier des constructions concrètes intervenant dans de nombreux domaines des mathématiques. Elle n'est pas liée à la notion de dérivation en analyse. La notion de foncteur dérivé est conçue pour donner un cadre général aux situations où une suite exacte courte donne naissance à une suite exacte longue.
Conoyau
En mathématiques, le conoyau d'un morphisme f : X → Y (par exemple un homomorphisme entre groupes ou bien un opérateur borné entre espaces de Hilbert) est la donnée d'un objet Q et d'un morphisme q : Y → Q tel que le morphisme composé soit le morphisme nul, et de plus Q est, en un certain sens, le plus "gros" objet possédant cette propriété. Souvent l'application q est sous-entendue, et Q est lui-même appelé conoyau de f. Les conoyaux sont les duaux des noyaux des catégories, d'où le nom.