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Concept
Composantes d'un vecteur
Résumé
vignette|Composantes d'un vecteur dans un espace géométrique à trois dimensions, x, y et z. Dans le cas du concept géométrique classique de vecteur, il existe une identification complète entre ses « composantes » et les « coordonnées » qui le représentent. Cependant, il existe d'autres types d'espaces vectoriels (comme, par exemple, l'ensemble des polynômes d'ordre n), dans lesquels le concept de coordonnée n'a pas la généralité de l'idée de composante.
En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur d'un K-espace vectoriel, dans une base donnée, sont une représentation explicite de ce vecteur par une famille de scalaires. Lorsque l'espace est de dimension n sur le corps K, les composantes forment un élément de l'espace vectoriel K.
Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres (n-uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit
une base de E.
Alors pour tout vecteur de E, il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à :
c'est-à-dire que les scalaires où sont déterminés de façon unique par et .
Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de dans la base ou relativement à la base , sont par définition la famille .
Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice :
La matrice est appelée matrice colonne — ou vecteur colonne — des composantes — ou des coordonnées — de dans la base .
Cette matrice est parfois notée , ou encore .
Pour , le scalaire est appelé la -ème composante — ou -ème coordonnée — du vecteur dans la base .
Le mécanisme précédent, qui à un vecteur de E qui fait correspondre ses composantes dans la base , peut être décrit par l'application , définie par
où appartiennent à et vérifient
Alors est une application linéaire de E dans K.
C'est même un isomorphisme : sa réciproque est définie par
Il est aussi possible de commencer par définir cette application , de constater que c'est un isomorphisme, puis de définir comme l'isomorphisme réciproque.
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