Théorème de Carathéodory (géométrie)

vignette|Par exemple le point (1/4, 1/4) de l'enveloppe convexe des points (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) se trouve dans l'intérieur du triangle (0, 0), (1, 0), (0, 1). Le théorème de Carathéodory est un théorème de géométrie relatif aux enveloppes convexes dans le contexte des espaces affines de dimension finie. Dans le plan, il affirme que tout point dans l'enveloppe convexe d'un ensemble de points est dans l'intérieur d'un triangle dont les sommets sont dans (l'enveloppe convexe d'un ensemble de points est l'ensemble des barycentres de trois points de ). Le théorème, établi par le mathématicien grec Constantin Carathéodory, affirme que : Notons l'enveloppe convexe de , et l'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls d'au plus points de . On veut montrer l'égalité de ces deux ensembles. L'inclusion est évidente. Pour montrer , la démarche de la preuve est de montrer que pour tout , si un élément de l'enveloppe convexe s'écrit comme combinaison convexe de points (c'est-à-dire comme barycentre à coefficients positifs ou nuls de ces points), alors c'est une combinaison convexe de points bien choisis parmi ces ; on réitère alors le procédé jusqu'à obtenir . Soit . Ainsi s'écrit , où est un entier, les sont des réels positifs ou nuls de somme 1, et les sont des points de . Si , alors . Si , alors est affinement lié, c'est-à-dire que l'un des points, disons par exemple , est barycentre des autres : il existe des réels de somme 1 tels que . En posant et pour , , on obtient : , et . Choisissons tel que : et remplaçons, dans l'expression de , le point par . Par "associativité du barycentre" on obtient , où les , définis par , sont des réels de somme 1, dont il reste à montrer qu'ils sont tous positifs ou nuls. Si , alors et donc . Si , alors est positif en tant que somme de deux termes positifs. est donc barycentre à coefficients positifs ou nuls de éléments de .