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Concept
Ensemble convexe
Résumé
Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points et , le segment qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.
On suppose travailler dans un contexte où le segment reliant deux points quelconques et a un sens (par exemple dans un espace affine sur R — en particulier dans un espace affine sur C — ou dans un ).
Sauf précision explicite, tout ce qui suit concerne le seul contexte des convexes dans des espaces affines (ou vectoriels), pour lesquels la notion de segment est défini comme ci-dessus.
On appellera dimension d'un convexe non vide la dimension du sous-espace affine engendré par .
Les demi-espaces ouverts ou fermés délimités par un hyperplan d'un R-espace vectoriel — ou plus généralement : affine — sont convexes.
Les sous-ensembles convexes de l'espace R des nombres réels sont les intervalles de R.
Dans un espace affine, tout sous-espace affine est convexe ; c'est en particulier le cas des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel.
Dans un espace vectoriel normé réel, toute boule (ouverte ou fermée) est convexe.
Soit des points d'un espace vectoriel réel V. Soit E l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires avec pour tout et . L'ensemble E est convexe.
L'intersection de deux convexes (et même d'une famille quelconque de convexes) est elle-même convexe (et ce très généralement, dès lors qu'on peut définir la convexité).
La définition de la convexité repose, après le choix de deux points quelconques et , sur la considération des points du segment , autrement dit des barycentres à coefficients positifs de ces deux points. En utilisant le théorème d'associativité des barycentres, on peut étendre aux barycentres à coefficients positifs d'un nombre quelconque de points :
Enveloppe convexe
Étant donné une partie quelconque de l'espace ambiant (espace affine ou contexte plus général), il existe au moins un sous-ensemble convexe de contenant , à savoir lui-même ; ceci autorise à considérer l'intersection de tous les sous-ensembles convexes de contenant .
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