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Concept
Nombre complexe déployé
Résumé
En mathématiques, les nombres complexes déployés ou fendus forment un anneau commutatif non-intègre, extension des nombres réels définis de manière analogue aux nombres complexes (usuels). La différence-clef entre les deux est que la multiplication des nombres complexes (usuels) respecte la norme euclidienne standard (carrée) :
sur
alors que la multiplication des nombres complexes déployés, quant à elle, respecte la norme de Minkowski ou norme lorentzienne (carrée)
Les nombres complexes déployés ont beaucoup d'autres noms, voir la section des synonymes ci-dessous.
Un espace vectoriel réel à deux dimensions muni du produit interne de Minkowski est appelé un espace de Minkowski de dimension 1+1, souvent noté . Tout comme la géométrie euclidienne du plan euclidien peut être décrite avec les nombres complexes, la géométrie lorentzienne du plan de Minkowski peut être décrite avec les nombres complexes déployés.
Le nom déployé provient du fait que les signatures de la forme (p,p) sont appelées signatures déployées. En d'autre mots, les nombres complexes déployés sont similaires aux nombres complexes mais dans la signature déployée (1,1).
Un nombre complexe déployé est de la forme :
où x et y sont des nombres réels et la quantité j définie par (voir l'article sur les tessarines) :
L'ensemble de tous ces z est appelé le plan complexe déployé. L'addition et la multiplication des nombres complexes déployés sont définies par
Cette multiplication est commutative, associative et distributive sur l'addition.
Comme pour les nombres complexes, on peut définir la notion de conjugué complexe déployé. Si
le conjugué de z est défini par
Le conjugué satisfait les propriétés similaires du conjugué complexe usuel :
Ces trois propriétés impliquent que le conjugué complexe déployé est un automorphisme d'ordre 2.
La norme carrée (ou forme quadratique) d'un nombre complexe déployé est donnée par
Cette norme n'est pas définie positivement mais possède plutôt une métrique (1, 1).
Source officielle
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