En algèbre linéaire, l'espace vectoriel quotient E/F d'un espace vectoriel E par un sous-espace vectoriel F est la structure naturelle d'espace vectoriel sur l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence définie de la manière suivante : v est en relation avec w si et seulement si v – w appartient à F.
C'est donc l'ensemble des classes [v] = v + F, où v parcourt E, muni des lois suivantes :
somme vectorielle : [v] + [w] = [v + w] ;
multiplication par un scalaire : λ [v] = [λ v].
L'application v ↦ [v] est une application linéaire surjective dont le noyau est F.
Les espaces quotients interviennent dans le théorème de factorisation en algèbre linéaire. Toute application linéaire f : E→G se factorise comme la composée de la surjection linéaire E→E/ker f par l'injection linéaire (E/ker f)→G. Si F est inclus dans ker f alors il existe une application linéaire g : E/F→G, unique, telle que f soit la composée de l'application quotient E→E/F et de g. Autrement dit, l'application quotient E→E/F est l'objet initial de la catégorie des applications linéaires f : E→G dont le noyau contient F.
Si E est l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps K, F le sous-espace des multiples d'un polynôme fixé P de degré n et G celui des polynômes de degré strictement inférieur à n, alors (par division euclidienne par P) F et G sont supplémentaires. Par conséquent, l'espace quotient E/F est isomorphe à G, donc de dimension n.
Soit E = R2 le plan cartésien, et soit F une droite passant par l'origine dans E. Alors l'espace quotient E/F peut être identifié avec l'espace de toutes les droites de E qui sont parallèles à F. C'est-à-dire,les éléments de l'ensemble E/F sont des droites de E parallèles à F. Notez que les points le long de l'une de ces droites vérifient la relation d'équivalence car leurs différences appartiennent à F. Cela donne un moyen de visualiser géométriquement les espaces quotients. (En paramétrant ces droites, l'espace quotient peut être représenté de manière plus conventionnelle comme l'espace de tous les points le long d'une droite passant par l'origine qui n'est pas parallèle à F).
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Explore les espaces vectoriels en trois dimensions, couvrant les combinaisons linéaires, les sous-espaces et les propriétés des familles de vecteurs en R3.
vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.
En mathématiques, un module quotient est le module obtenu en quotientant un module sur un anneau par un de ses sous-modules. Soient M un module sur un anneau A et N un sous-module de M. Le groupe (M,+) étant abélien, son sous-groupe (N,+) est normal, ce qui permet de définir le groupe quotient (M/N,+). Sur ce groupe (M/N,+), qui est abélien, il existe une unique loi externe faisant de M/N un A-module et telle que la projection canonique soit non seulement un morphisme de groupes, mais un morphisme de A-modules : M/M est le module trivial {0}.
En algèbre linéaire, l'espace vectoriel quotient E/F d'un espace vectoriel E par un sous-espace vectoriel F est la structure naturelle d'espace vectoriel sur l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence définie de la manière suivante : v est en relation avec w si et seulement si v – w appartient à F. C'est donc l'ensemble des classes [v] = v + F, où v parcourt E, muni des lois suivantes : somme vectorielle : [v] + [w] = [v + w] ; multiplication par un scalaire : λ [v] = [λ v].
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