En mathématiques, un module quotient est le module obtenu en quotientant un module sur un anneau par un de ses sous-modules.
Soient M un module sur un anneau A et N un sous-module de M.
Le groupe (M,+) étant abélien, son sous-groupe (N,+) est normal, ce qui permet de définir le groupe quotient (M/N,+).
Sur ce groupe (M/N,+), qui est abélien, il existe une unique loi externe faisant de M/N un A-module et telle que la projection canonique soit non seulement un morphisme de groupes, mais un morphisme de A-modules :
M/M est le module trivial {0}.
M/{0} est isomorphe à M.
Si M est égal à l'anneau A (vu comme module à gauche sur lui-même), ses sous-modules sont les idéaux à gauche de A. Le module quotient de A par un idéal bilatère I est l'anneau quotient A/I, vu comme A-module.
Si I est un idéal bilatère de A, la structure de A-module du quotient de M par le sous-module
est induite par sa structure naturelle de A/I-module.
Tout morphisme de A-modules dont le noyau contient N se factorise de façon unique par M/N, c'est-à-dire qu'il existe un unique morphisme de A-modules tel que .
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En mathématiques, un module quotient est le module obtenu en quotientant un module sur un anneau par un de ses sous-modules. Soient M un module sur un anneau A et N un sous-module de M. Le groupe (M,+) étant abélien, son sous-groupe (N,+) est normal, ce qui permet de définir le groupe quotient (M/N,+). Sur ce groupe (M/N,+), qui est abélien, il existe une unique loi externe faisant de M/N un A-module et telle que la projection canonique soit non seulement un morphisme de groupes, mais un morphisme de A-modules : M/M est le module trivial {0}.
En algèbre linéaire, l'espace vectoriel quotient E/F d'un espace vectoriel E par un sous-espace vectoriel F est la structure naturelle d'espace vectoriel sur l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence définie de la manière suivante : v est en relation avec w si et seulement si v – w appartient à F. C'est donc l'ensemble des classes [v] = v + F, où v parcourt E, muni des lois suivantes : somme vectorielle : [v] + [w] = [v + w] ; multiplication par un scalaire : λ [v] = [λ v].
En algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aX), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X].
Après une introduction à la théorie des catégories, nous appliquerons la théorie générale au cas particulier des groupes, ce qui nous permettra de bien mettre en perspective des notions telles que quo