Module quotient

En mathématiques, un module quotient est le module obtenu en quotientant un module sur un anneau par un de ses sous-modules. Soient M un module sur un anneau A et N un sous-module de M. Le groupe (M,+) étant abélien, son sous-groupe (N,+) est normal, ce qui permet de définir le groupe quotient (M/N,+). Sur ce groupe (M/N,+), qui est abélien, il existe une unique loi externe faisant de M/N un A-module et telle que la projection canonique soit non seulement un morphisme de groupes, mais un morphisme de A-modules : M/M est le module trivial {0}. M/{0} est isomorphe à M. Si M est égal à l'anneau A (vu comme module à gauche sur lui-même), ses sous-modules sont les idéaux à gauche de A. Le module quotient de A par un idéal bilatère I est l'anneau quotient A/I, vu comme A-module. Si I est un idéal bilatère de A, la structure de A-module du quotient de M par le sous-module est induite par sa structure naturelle de A/I-module. Tout morphisme de A-modules dont le noyau contient N se factorise de façon unique par M/N, c'est-à-dire qu'il existe un unique morphisme de A-modules tel que .