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Concept
Algèbre des parties d'un ensemble
Résumé
En théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble, muni des opérations d'intersection, de réunion, et de passage au complémentaire, possède une structure d'algèbre de Boole. D'autres opérations s'en déduisent, comme la différence ensembliste et la différence symétrique.
L'algèbre des parties d'un ensemble étudie l'arithmétique de ces opérations (voir l'article « Opération ensembliste » pour des opérations qui ne laissent pas stable l'ensemble des parties d'un ensemble).
Dans tout l'article, les ensembles considérés sont tous supposés inclus dans un ensemble donné U. L'inclusion est une relation d'ordre (partielle) notée « ⊂ » ou « ⊆ », et définie sur l'ensemble des parties de U, noté P(U), par :
A ⊂ B si et seulement si ∀ x ∈ U (x ∈ A ⇒ x ∈ B).
L'égalité est définie par extensionnalité, deux ensembles sont égaux quand ils ont les mêmes éléments, c'est-à-dire que :
A = B si et seulement si ∀ x ∈ U (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
ou encore
A = B si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A.
Les propriétés qui suivent correspondent donc, pour les égalités, à des équivalences en calcul propositionnel dont elles se déduisent. Elles peuvent être visualisées avec les diagrammes de Venn, une façon schématique de décrire toutes les cas possibles pour l'appartenance d'un élément à un nombre fini (et suffisamment réduit) d'ensembles, et qui peut donc permettre également de décrire des démonstrations d'égalité ou d'inclusion.
De façon similaire, les inclusions se ramènent à des implications.
vignette|La réunion de deux ensembles : A ∪ B.
L'ensemble réunion de A et de B, noté « A U B » (lire « A union B »), est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B :
c'est-à-dire que :
x ∈ A ∪ B si et seulement si x ∈ A ou x ∈ B.
L'ensemble U muni de la réunion a les propriétés suivantes (pour tous sous-ensembles A, B, C de U) :
vignette|A ∪ B ∪ C.
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