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Concept
Algèbre des parties d'un ensemble
Résumé
En théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble, muni des opérations d'intersection, de réunion, et de passage au complémentaire, possède une structure d'algèbre de Boole. D'autres opérations s'en déduisent, comme la différence ensembliste et la différence symétrique.
L'algèbre des parties d'un ensemble étudie l'arithmétique de ces opérations (voir l'article « Opération ensembliste » pour des opérations qui ne laissent pas stable l'ensemble des parties d'un ensemble).
Inclusion et égalité
Dans tout l'article, les ensembles considérés sont tous supposés inclus dans un ensemble donné U. L'inclusion est une relation d'ordre (partielle) notée « ⊂ » ou « ⊆ », et définie sur l'ensemble des parties de U, noté P(U), par :
: A ⊂ B si et seulement si ∀ x ∈ U (x ∈ A ⇒ x ∈ B).
L'égalité est définie par extensionnalité, deux ensembles sont égaux quand ils ont les mêmes éléments, c'est-à-dire que :
: A = B si et seulement si ∀ x ∈ U (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
ou encore
: A = B si
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