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Concept
E (nombre)
Résumé
vignette|redresse|L’aire sous l’hyperbole est égale à 1 sur l’intervalle [1, e].
Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1. Cette constante mathématique, également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828.
Ce nombre est défini à la fin du , dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation ln(e) = 1 ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle, d'où la notation exp(x) = e. La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de e par Euler comme somme de la série :
Ce nombre apparaît aussi comme limite de la suite numérique de terme général et dans de nombreuses formules en analyse telles que l'identité d'Euler e = −1 ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire.
Euler démontre en 1737 que e est irrationnel, donc que son développement décimal n'est pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales. Il explicite pour cela son développement en fraction continue. En 1873, Charles Hermite montre que le nombre e est même transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers.
vignette|redresse|John Napier.
Au début du , le mathématicien écossais John Napier construit les premières tables de logarithmes, qui permettent de simplifier des calculs de produits et quotients mais aussi racines carrées, cubiques et autres. Elles consistent à associer à chaque nombre d'une liste un autre nombre (appelé logarithme), de façon qu'une relation de proportionnalité entre quatre termes de la première liste se traduise par des différences égales entre les termes correspondants de la seconde liste : si a, b, c et d ont pour logarithmes respectifs A, B, C et D, alors la relation = est équivalente à la relation A − B = C − D.
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Concepts associés (98)
Exponentielle de base a
En analyse réelle, l'exponentielle de base est la fonction notée exp qui, à tout réel x, associe le réel a. Elle n'a de sens que pour un réel a strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier n associe a. C'est donc la version continue d'une suite géométrique. Elle s'exprime à l'aide des fonctions usuelles exponentielle et logarithme népérien sous la forme Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur R, prenant la valeur a en 1 et transformant une somme en produit.
E (nombre)
vignette|redresse|L’aire sous l’hyperbole est égale à 1 sur l’intervalle [1, e]. Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1. Cette constante mathématique, également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828. Ce nombre est défini à la fin du , dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel.
Nombre réel
En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
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