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Concept
Exponentielle de base a
Résumé
En analyse réelle, l'exponentielle de base est la fonction notée exp qui, à tout réel x, associe le réel a. Elle n'a de sens que pour un réel a strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier n associe a. C'est donc la version continue d'une suite géométrique.
Elle s'exprime à l'aide des fonctions usuelles exponentielle et logarithme népérien sous la forme
Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur R, prenant la valeur a en 1 et transformant une somme en produit.
Pour a différent de 1, c'est la réciproque de la fonction logarithme de base a. On appelle d'ailleurs parfois ces fonctions les fonctions antilogarithmes. Le cas a = e correspond aux fonctions exponentielle et logarithme népérien.
Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions dérivables sur R, proportionnelles à leur dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Elles permettent de modéliser les phénomènes physiques ou biologiques dans lesquels la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population.
On trouve aussi le terme de fonctions exponentielles pour des fonctions dont l'expression est N a.
On considère un réel a strictement positif ; il est facile de définir a comme le produit de a par lui-même n fois pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
puis de définir a = 1 et a = 1/a. On démontre aisément la propriété a = a × a. Cette construction, assez naturelle, correspond aux phénomènes dits à croissance ou décroissance exponentielle.
Suite géométrique
Exemple 1 : imaginons une population dont la taille augmente de 30 % tous les . Si l'on note N la population en 1900, il est facile de calculer la population en 1910, 1920... qui sera de N × 1,3, puis N × 1,3... pour aboutir au bout de n décennies à N × 1,3. Il est même possible de déterminer la population en 1890, 1880... qui sera de N × 1,3, N × 1,3...
Exemple 2 : le carbone 14 a une décroissance radioactive de période T = 5 730 ans ce qui veut dire que tous les T ans, le nombre de particules radioactives a été divisé par 2.
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