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Concept
Contrainte holonome
Résumé
En mécanique analytique, on dit qu'un système de N particules est soumis à une contrainte holonome s'il existe une équation algébrique caractérisant l'état du système, et dont les variables sont les vecteurs coordonnées des particules, pour . On écrit cette contrainte sous la forme . Si les contraintes sont modélisées par un système d'équations de ce type, on parle encore de contraintes holonomes.
Une contrainte qui ne peut pas s'écrire sous cette forme est dite non holonome.
Si l'équation de la contrainte holonome dépend du temps, (), elle est dite rhéonome. Si elle n'en dépend pas, (, elle est dite scléronome.
Mathématiquement, une contrainte holonome définit une variété fermée plongée dans l'espace dans laquelle évolue le système de particules. La dimension de cette variété est le nombre de degrés de liberté du système, i.e. le nombre de coordonnées indépendantes à considérer pour le décrire. En général K contraintes holonomes enlèvent K degrés de liberté, mais, suivant les équations et leur indépendance, il peut en être autrement (on peut ramener K équations indépendantes à une seule équation si on le souhaite ; ce sujet dans toute sa généralité relève de la géométrie algébrique).
Les contraintes d'un corps supposé rigide sont holonomes scléronomes : pour deux particules quelconques numérotées , il existe une constante telle que l'on doit avoir .
Le système étudié peut être décrit par d'autres variables que les positions spatiales de ses N points : angles, positions relatives, etc. Dans ce cas, les nouvelles coordonnées utilisées sont appelées « coordonnées généralisées » ; elles sont souvent notées et sont au nombre de . On a , et la contrainte holonome peut alors s'écrire . Le système des N points, évoluant dans l'espace de dimension 3, peut alors être considéré comme décrit dans un espace de dimension n.
Un système de N corps ponctuels non soumis à une contrainte holonome a 3N degrés de liberté et nécessite donc 3N variables réelles indépendantes pour être décrit (par exemple : les 3N coordonnées des N corps).
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