Fonction elliptique de Jacobi

En mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi. Il existe 12 fonctions elliptiques de Jacobi. Ce sont des fonctions d'une variable complexe mais qui dépendent d'un paramètre k élément de ]0,1[, sous-entendu dans les notations. k s'appelle le module des fonctions de Jacobi. À ce paramètre k, on associe les deux nombres K et K', définis par les intégrales elliptiques et , ainsi que le nombre , appelé comodule. Dans le plan complexe, on dispose un rectangle dont les quatre sommets sont conventionnellement notés s, c, d et n, de façon que s soit à l'origine, c au point d'abscisse K sur l'axe des réels, d au point d'affixe complexe K + iK', et n au point d'affixe iK' sur l'axe imaginaire. Le nom de chacune des fonctions de Jacobi est alors associé à un couple formé de deux sommets du rectangle. Ainsi, les noms des 12 fonctions elliptiques de Jacobi sont : sc, sd, sn, cd, cn, cs, dn, ds, dc, ns, nc et nd. Pour tout sommet p parmi les quatre sommets scdn, et pour tout sommet q pris parmi les trois sommets restants, la fonction de Jacobi pq est la seule fonction de la variable complexe qui soit doublement périodique et méromorphe, et qui vérifie les propriétés suivantes : Elle admet un zéro simple au sommet p, et un pôle simple au sommet q. Elle est périodique de période 4K selon l'axe réel, et périodique de période 4K' selon l'axe imaginaire. Les nombres K et K' sont appelés « quarts de période ». Elle est périodique dans la direction pq, de période double de la distance de p à q.