Théorème des coefficients universels

Le théorème des coefficients universels est un résultat d'algèbre homologique portant sur les groupes d'homologie et de cohomologie d'un complexe de chaînes. Ce théorème comporte deux volets : d'une part il relie entre elles homologie et cohomologie, et d'autre part il explique le lien entre la (co)homologie à coefficients dans et la (co)homologie à coefficients dans un groupe . Une utilisation courante de ce théorème est de calculer les groupes de cohomologie à coefficient dans un groupe via le calcul de la cohomologie dans , qui sont faciles à calculer (par exemple au moyen d'une décomposition cellulaire). Le théorème des coefficients universels, démontré pour la première fois en 1942 par Samuel Eilenberg et Saunders MacLane, est le plus généralement exprimé en termes des foncteurs Tor et Ext, sous la forme de suites exactes courtes. Avant d'énoncer le théorème dans toute sa généralité, on peut en comprendre l'origine dans un cas simple. La dualité entre chaînes et cochaînes induit un couplage pour tout complexe de chaînes . Il en découle un morphisme de groupes abéliens obtenu par curryfication, qui envoie un -cocycle vers . Le théorème des coefficients universels généralise cette construction au cas où le groupe considéré est différent de , ce qui oblige à tenir compte des groupes d'extension (en d'autre termes, le couplage n'est pas parfait). La suite suivante, formée par les groupes d'homologie et de cohomologie d'un complexe de chaînes de -modules libres à coefficients dans un groupe abélien est exacte :La suite est scindée, mais pas de manière naturelle. Le théorème et sa preuve peuvent aisément être étendus pour donner le théorème de Künneth. Dans le cas de l'homologie on a la suite exacte « symétrique » qui fait intervenir le foncteur Tor au lieu de Ext. On considère encore un complexe de chaînes de -modules libres à coefficients dans un groupe abélien , et on a :Comme dans le cas de l'homologie, cette suite est scindée de manière non naturelle.