Treillis extremaux

Cette séance de cours plonge dans les réseaux extrêmes, en se concentrant même sur les réseaux unimodulaires en RD. L'instructeur clarifie la fonction de données, les règles de transformation et l'impossibilité du multiple impair de quatre réseaux. La discussion s'étend aux formes modulaires, aux définitions de caractères et à l'unicité des formes modulaires extrêmes. La preuve du théorème de Ziegel est présentée, mettant en évidence la borne sur le vecteur le plus court dans les réseaux extrêmes. La séance de cours se termine par des aperçus de l'emballage des sphères, des calculs de densité et de l'existence finie de treillis extrèmes, même unimodulaires, dans des dimensions spécifiques.

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Séances de cours associées (32)

Concepts associés (17)

MATH-511: Number theory II.a - Modular forms

In this course we will introduce core concepts of the theory of modular forms and consider several applications of this theory to combinatorics, harmonic analysis, and geometric optimization.

Unimodular lattice

In geometry and mathematical group theory, a unimodular lattice is an integral lattice of determinant 1 or −1. For a lattice in n-dimensional Euclidean space, this is equivalent to requiring that the volume of any fundamental domain for the lattice be 1. The E8 lattice and the Leech lattice are two famous examples. A lattice is a free abelian group of finite rank with a symmetric bilinear form (·, ·). The lattice is integral if (·,·) takes integer values. The dimension of a lattice is the same as its rank (as a Z-module).

Courbe modulaire

En théorie des nombres et en géométrie algébrique une courbe modulaire désigne la surface de Riemann, ou la courbe algébrique correspondante, construite comme quotient du demi-plan de Poincaré H sous l'action de certains sous-groupes Γ d'indice fini dans le groupe modulaire. La courbe obtenue est généralement notée Y(Γ). On appelle Γ le niveau de la courbe Y(Γ). Depuis Gorō Shimura, on sait que ces courbes admettent des équations à coefficients dans un corps cyclotomique, qui dépend du niveau Γ.

Groupe modulaire

En mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, Z), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, Z) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, Z) dans le groupe de Lie On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. Ce nom provient de l'action à gauche et fidèle de Γ(1) par homographies sur le demi-plan de Poincaré H des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Cette action n'est que la restriction de l'action de PGL(2, C) sur la droite projective complexe P(C) = C ∪ {∞} : la matrice agit sur P(C) par la transformation de Möbius qui en envoie z sur .

Empilement compact

Un empilement compact d'une collection d'objets est un agencement de ces objets de telle sorte qu'ils occupent le moins d'espace possible (donc qu'ils laissent le moins de vide possible). Le problème peut se poser dans un espace (euclidien ou non) de dimension n quelconque, les objets étant eux-mêmes de dimension n. Les applications pratiques sont concernées par les cas (plan et autres surfaces) et (espace ordinaire).

Forme modulaire

En mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec le théorème de modularité et la théorie des nombres.

E8 Lattice Optimality MATH-511: Number theory II.a - Modular forms

Plonge dans la construction et l'optimalité du treillis E8 comme l'emballage de sphère la plus dense dans la dimension huit.

Monster Group : Représentation MATH-680: Monstrous moonshine

Explore le groupe Monster, un groupe simple sporadique avec une théorie de représentation unique.

Monstrueux Moonshine MATH-680: Monstrous moonshine

Explore Monstrous Moonshine, en se concentrant sur la découverte de 1979 et ses connexions mathématiques.

Dynamique des espaces homogènes et interactions avec la théorie des nombres

Explore la dynamique des espaces homogènes et leurs interactions avec la théorie des nombres, en mettant l'accent sur les treillis modulaires et le théorème de décomposition Iwasawa.

Expansion de Fourier et formes modulaires MATH-603: Subconvexity, Periods and Equidistribution

Couvre l'expansion de Fourier des formes modulaires et la méthode Rankin-Selberg.