Homologie des groupesEn algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe. Pour un groupe G, on note Z[G] l'algèbre du groupe G sur l'anneau des entiers relatifs Z. Soient alors M un Z[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et une résolution projective de M. Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par : De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par : où est une résolution injective de M.
Equivariant cohomologyIn mathematics, equivariant cohomology (or Borel cohomology) is a cohomology theory from algebraic topology which applies to topological spaces with a group action. It can be viewed as a common generalization of group cohomology and an ordinary cohomology theory. Specifically, the equivariant cohomology ring of a space with action of a topological group is defined as the ordinary cohomology ring with coefficient ring of the homotopy quotient : If is the trivial group, this is the ordinary cohomology ring of , whereas if is contractible, it reduces to the cohomology ring of the classifying space (that is, the group cohomology of when G is finite.
Lie algebra cohomologyIn mathematics, Lie algebra cohomology is a cohomology theory for Lie algebras. It was first introduced in 1929 by Élie Cartan to study the topology of Lie groups and homogeneous spaces by relating cohomological methods of Georges de Rham to properties of the Lie algebra. It was later extended by to coefficients in an arbitrary Lie module. If is a compact simply connected Lie group, then it is determined by its Lie algebra, so it should be possible to calculate its cohomology from the Lie algebra.
Lie algebra extensionIn the theory of Lie groups, Lie algebras and their representation theory, a Lie algebra extension e is an enlargement of a given Lie algebra g by another Lie algebra h. Extensions arise in several ways. There is the trivial extension obtained by taking a direct sum of two Lie algebras. Other types are the split extension and the central extension. Extensions may arise naturally, for instance, when forming a Lie algebra from projective group representations. Such a Lie algebra will contain central charges.
Algèbre tensorielleEn mathématiques, une algèbre tensorielle est une algèbre sur un corps dont les éléments (appelés tenseurs) sont représentés par des combinaisons linéaires de « mots » formés avec des vecteurs d'un espace vectoriel donné. Les seules relations de dépendance linéaire entre ces mots sont induites par les combinaisons linéaires entre les vecteurs. Si l'espace vectoriel sous-jacent est muni d'une base, son algèbre tensorielle s'identifie avec l'algèbre associative unitaire libre engendrée par cette base.
CohomologyIn mathematics, specifically in homology theory and algebraic topology, cohomology is a general term for a sequence of abelian groups, usually one associated with a topological space, often defined from a cochain complex. Cohomology can be viewed as a method of assigning richer algebraic invariants to a space than homology. Some versions of cohomology arise by dualizing the construction of homology. In other words, cochains are functions on the group of chains in homology theory.
Lie group–Lie algebra correspondenceIn mathematics, Lie group–Lie algebra correspondence allows one to correspond a Lie group to a Lie algebra or vice versa, and study the conditions for such a relationship. Lie groups that are isomorphic to each other have Lie algebras that are isomorphic to each other, but the converse is not necessarily true. One obvious counterexample is and (see real coordinate space and the circle group respectively) which are non-isomorphic to each other as Lie groups but their Lie algebras are isomorphic to each other.
Algèbre de HopfEn mathématiques, une algèbre de Hopf, du nom du mathématicien Heinz Hopf, est une bialgèbre qui possède en plus une opération (l'antipode) qui généralise la notion de passage à l'inverse dans un groupe. Ces algèbres ont été introduites à l'origine pour étudier la cohomologie des groupes de Lie. Les algèbres de Hopf interviennent également en topologie algébrique, en théorie des groupes et dans bien d'autres domaines. Enfin, ce qu'on appelle les groupes quantiques sont souvent des algèbres de Hopf « déformées » et qui ne sont en général ni commutatives, ni cocommutatives.
Algèbre associativevignette|Relations entre certaines structures algébriques. En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau. Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque : (B , + , .
Structure algébriqueEn mathématiques, une structure algébrique est définie axiomatiquement par une ou plusieurs opérations sur un ensemble (dites internes), éventuellement muni d’autres opérations (externes) dépendant d’autres ensembles, toutes ces opérations satisfaisant certaines relations telles que l’associativité, la commutativité ou la distributivité. La structure de groupe qui émerge progressivement au , avec une seule opération interne et quelques propriétés se formalise au début du avec une kyrielle de structures d’algèbre générale moins restrictives (monoïde) ou au contraire enrichies par une seconde opération (anneau, corps, algèbre de Boole.
