Algèbre de Hopf

En mathématiques, une algèbre de Hopf, du nom du mathématicien Heinz Hopf, est une bialgèbre qui possède en plus une opération (l'antipode) qui généralise la notion de passage à l'inverse dans un groupe. Ces algèbres ont été introduites à l'origine pour étudier la cohomologie des groupes de Lie. Les algèbres de Hopf interviennent également en topologie algébrique, en théorie des groupes et dans bien d'autres domaines. Enfin, ce qu'on appelle les groupes quantiques sont souvent des algèbres de Hopf « déformées » et qui ne sont en général ni commutatives, ni cocommutatives. Ces objets sont ainsi au cœur de la géométrie non commutative. Une algèbre de Hopf est une bialgèbre (associative et coassociative) H sur un corps K munie d'une application K-linéaire (appelée l’antipode) telle que le diagramme suivant soit commutatif : Dans ce diagramme, Δ est la comultiplication de la bialgèbre, ∇ sa multiplication, η son unité et ε sa counité. Dans la , cette propriété peut aussi s'exprimer comme Plus généralement, on peut remplacer le corps K par un anneau commutatif R dans la définition précédente. La définition est auto-duale (comme le montre la symétrie du diagramme précédent), aussi, s'il existe une notion d'espace dual de H (ce qui est toujours possible si H est de dimension finie), ce dual est automatiquement une algèbre de Hopf. On demande parfois à l'antipode S d'avoir un inverse, ce qui est automatique dans le cas de la dimension finie, ou si H est commutative. En général, S est un antihomomorphisme, et donc est un homomorphisme, et un automorphisme si S est inversible. Si , on dit que l'algèbre de Hopf est involutive (et l'algèbre sous-jacente, munie de S, est également involutive). C'est en particulier le cas si H est commutative, ou si elle est semi-simple et de dimension finie sur un corps de caractéristique nulle. Si une bialgèbre B admet un antipode, celui-ci est unique, et donc B admet au plus une structure d'algèbre de Hopf. L'antipode est l'analogue de l'application d'inversion envoyant sur dans un groupe.