E8 (mathématiques)vignette|Le polytope de Gosset : les 240 vecteurs du système de racines En mathématiques, est le plus grand groupe de Lie complexe de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée . E est de rang 8 et de dimension 248. Il est simplement connexe et son centre est trivial. La structure E a été découverte en 1887 par le mathématicien norvégien Sophus Lie pour étudier la symétrie et jusqu’ici personne ne pensait que cet objet mathématique pourrait être compris, considère , responsable de l’équipe qui réunit 18 mathématiciens et programmeurs dans le monde, dont Fokko du Cloux et .
Lie theoryIn mathematics, the mathematician Sophus Lie (liː ) initiated lines of study involving integration of differential equations, transformation groups, and contact of spheres that have come to be called Lie theory. For instance, the latter subject is Lie sphere geometry. This article addresses his approach to transformation groups, which is one of the areas of mathematics, and was worked out by Wilhelm Killing and Élie Cartan. The foundation of Lie theory is the exponential map relating Lie algebras to Lie groups which is called the Lie group–Lie algebra correspondence.
DiophantienL'adjectif diophantien () (du nom de Diophante d'Alexandrie) s'applique à tout ce qui concerne les équations polynomiales à coefficients entiers, également appelées équations diophantiennes. Les notions qui suivent ont été développées pour venir à bout du dixième problème de Hilbert. Il s'agit de savoir s'il existe un algorithme général permettant de dire si, oui ou non, il existe une solution à une équation diophantienne. Le théorème de Matiyasevich prouve l'impossibilité de l'existence d'un tel algorithme.
Groupe trivialEn mathématiques, un groupe trivial est un groupe constitué du seul élément e. Tous les groupes triviaux sont isomorphes, c'est pourquoi on dit souvent le groupe trivial. L'opération de groupe est e + e = e. L'élément e est le neutre, et le groupe est abélien et même cyclique. On ne doit pas confondre le groupe trivial avec l'ensemble vide (qui n'a pas d'élément, donc pas d'élément neutre, si bien qu'il ne peut pas être un groupe). Le groupe trivial est « le » groupe cyclique d'ordre 1, noté C1.
Groupe discretIn mathematics, a topological group G is called a discrete group if there is no limit point in it (i.e., for each element in G, there is a neighborhood which only contains that element). Equivalently, the group G is discrete if and only if its identity is isolated. A subgroup H of a topological group G is a discrete subgroup if H is discrete when endowed with the subspace topology from G. In other words there is a neighbourhood of the identity in G containing no other element of H.
Diophantine geometryIn mathematics, Diophantine geometry is the study of Diophantine equations by means of powerful methods in algebraic geometry. By the 20th century it became clear for some mathematicians that methods of algebraic geometry are ideal tools to study these equations. Diophantine geometry is part of the broader field of arithmetic geometry. Four theorems in Diophantine geometry which are of fundamental importance include: Mordell–Weil theorem Roth's theorem Siegel's theorem Faltings's theorem Serge Lang published a book Diophantine Geometry in the area in 1962, and by this book he coined the term "Diophantine Geometry".
Schéma (géométrie algébrique)En mathématiques, les schémas sont les objets de base de la géométrie algébrique, généralisant la notion de variété algébrique de plusieurs façons, telles que la prise en compte des multiplicités, l'unicité des points génériques et le fait d'autoriser des équations à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.
Non-associative algebraA non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation.
Congruence subgroupIn mathematics, a congruence subgroup of a matrix group with integer entries is a subgroup defined by congruence conditions on the entries. A very simple example would be invertible 2 × 2 integer matrices of determinant 1, in which the off-diagonal entries are even. More generally, the notion of congruence subgroup can be defined for arithmetic subgroups of algebraic groups; that is, those for which we have a notion of 'integral structure' and can define reduction maps modulo an integer.
Groupe abélienEn mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.
