vignette|Le polytope de Gosset : les 240 vecteurs du système de racines
En mathématiques, est le plus grand groupe de Lie complexe de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée .
E est de rang 8 et de dimension 248. Il est simplement connexe et son centre est trivial.
La structure E a été découverte en 1887 par le mathématicien norvégien Sophus Lie pour étudier la symétrie et jusqu’ici personne ne pensait que cet objet mathématique pourrait être compris, considère , responsable de l’équipe qui réunit 18 mathématiciens et programmeurs dans le monde, dont Fokko du Cloux et .
En plus du groupe de Lie complexe , de dimension complexe 248 (donc de dimension réelle 496), il existe trois formes réelles de ce groupe, toutes de dimension réelle 248. Les plus simples sont les et (non compacte maximale ou encore split en anglais) et il en existe une troisième, notée .
On peut construire la forme compacte du groupe E comme le groupe d'automorphismes de l'algèbre de lie correspondante. Cette algèbre possède comme sous-algèbre de dimension 120 et on peut se servir de celle-ci pour décomposer la représentation adjointe comme
où est l'une des deux représentations spinorielles du groupe dont est l'algèbre de Lie.
Si on appelle un jeu de générateurs pour et les 128 composantes de alors on peut écrire explicitement les relations définissant comme
ainsi que
qui correspond à l'action naturelle de sur le spineur . Le commutateur restant (qui est bien un commutateur et non pas un anticommutateur) est défini entre les composantes du spineur comme
À partir de ces définitions on peut vérifier que l'identité de Jacobi est satisfaite.
La forme réelle compacte de E peut être vue comme le groupe d'isométrie d'une variété riemannienne de dimension 128 appelée plan projectif octooctonionique. Ce nom vient de ce qu'il peut être construit en utilisant une algèbre qui est construite comme produit tensoriel des octonions avec eux-mêmes. Ce type de construction est analysé en détail par Hans Freudenthal et Jacques Tits dans .
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In mathematics, a Lie algebra is semisimple if it is a direct sum of simple Lie algebras. (A simple Lie algebra is a non-abelian Lie algebra without any non-zero proper ideals). Throughout the article, unless otherwise stated, a Lie algebra is a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0. For such a Lie algebra , if nonzero, the following conditions are equivalent: is semisimple; the Killing form, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non-degenerate; has no non-zero abelian ideals; has no non-zero solvable ideals; the radical (maximal solvable ideal) of is zero.
In mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Together with the commutative Lie group of the real numbers, , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension.
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse harmonique abstraite, un groupe compact est un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l'étude. Ces groupes comprennent notamment les groupes finis et les groupes de Lie compacts. Tout groupe compact est limite projective de groupes de Lie compacts. Tout groupe discret fini est un groupe compact. En effet, tout espace discret fini est compact.
We will establish the major results in the representation theory of semisimple Lie algebras over the field of complex numbers, and that of the related algebraic groups.
Study groups generated by reflections
L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications.
We prove that the real cohomology of semi-simple Lie groups admits boundary values, which are measurable cocycles on the Furstenberg boundary. This generalises known invariants such as the Maslov index on Shilov boundaries, the Euler class on projective sp ...
2022
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This data set provides a computer-assisted proof for the kernel inequalities needed to prove universal optimality in the paper "Universal optimality of the E_8 and Leech lattices and interpolation formulas" (by Cohn, Kumar, Miller, Radchenko, and Viazovska ...
We discuss anomalies associated with outer automorphisms in gauge theories based on classical groups, namely charge conjugations for SU(N) and parities for SO(2r). We emphasize the inequivalence (yet related by a flavor transformation) between two versions ...