Kaplansky's theorem on projective modulesIn abstract algebra, Kaplansky's theorem on projective modules, first proven by Irving Kaplansky, states that a projective module over a local ring is free; where a not-necessarily-commutative ring is called local if for each element x, either x or 1 − x is a unit element. The theorem can also be formulated so to characterize a local ring (#Characterization of a local ring). For a finite projective module over a commutative local ring, the theorem is an easy consequence of Nakayama's lemma.
Finitely generated moduleIn mathematics, a finitely generated module is a module that has a finite generating set. A finitely generated module over a ring R may also be called a finite R-module, finite over R, or a module of finite type. Related concepts include finitely cogenerated modules, finitely presented modules, finitely related modules and coherent modules all of which are defined below. Over a Noetherian ring the concepts of finitely generated, finitely presented and coherent modules coincide.
GrassmannienneEn mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou G(K) la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ». Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
Théorème de l'indice d'Atiyah-SingerEn mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, démontré par Michael Atiyah et Isadore Singer en 1963, affirme que pour un opérateur différentiel elliptique sur une variété différentielle compacte, l’indice analytique (lié à la dimension de l'espace des solutions) est égal à l’indice topologique (défini à partir d'invariants topologiques). De nombreux autres théorèmes, comme le théorème de Riemann-Roch, en sont des cas particuliers, et il a des applications en physique théorique.
Regular schemeIn algebraic geometry, a regular scheme is a locally Noetherian scheme whose local rings are regular everywhere. Every smooth scheme is regular, and every regular scheme of finite type over a perfect field is smooth. For an example of a regular scheme that is not smooth, see Geometrically regular ring#Examples.
Module platLa notion de module plat a été introduite et utilisée, en géométrie algébrique, par Jean-Pierre Serre. Cette notion se trouve également dans un ouvrage contemporain d'Henri Cartan et Samuel Eilenberg en algèbre homologique. Elle généralise les modules projectifs et a fortiori les modules libres. En algèbre commutative et en géométrie algébrique, cette notion a été notamment exploitée par Alexander Grothendieck et son école, et s'est révélée d'une importance considérable.
Faisceau (de modules)En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé qui possède une structure de module sur le faisceau structural . Sur un espace localement annelé , un faisceau de -modules (ou un -Module) est un faisceau sur tel que soit un -module pour tout ouvert , et que pour tout ouvert contenu dans , l'application restriction soit compatible avec les structures de modules: pour tous , on a Les notions de sous--modules et de morphismes de -modules sont claires.
Classe caractéristiqueUne classe caractéristique est un objet mathématique défini et étudié notamment en topologie algébrique et en K-théorie, afin de différencier les fibrés vectoriels. De telles classes sont aujourd'hui comprises comme des invariants cohomologiques. La notion de classe caractéristique répond à une tentative de classification. Plus précisément, si est un fibré vectoriel, une classe caractéristique de est une classe dans la cohomologie de la base qui vérifie la condition suivante, dite de compatibilité : pour toute application continue , on a où est le fibré vectoriel induit sur par .
Module sur un anneauEn mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, au sein des structures algébriques, : pour un espace vectoriel, l'ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet ensemble est seulement muni d'une structure d'anneau (unitaire, mais non nécessairement commutatif). Une partie des travaux en théorie des modules consiste à retrouver les résultats de la théorie des espaces vectoriels, quitte pour cela à travailler avec des anneaux plus maniables, comme les anneaux principaux.
Projective coverIn the branch of abstract mathematics called , a projective cover of an object X is in a sense the best approximation of X by a projective object P. Projective covers are the of injective envelopes. Let be a and X an object in . A projective cover is a pair (P,p), with P a projective object in and p a superfluous epimorphism in Hom(P, X). If R is a ring, then in the category of R-modules, a superfluous epimorphism is then an epimorphism such that the kernel of p is a superfluous submodule of P.
