Matrice aléatoire
En théorie des probabilités et en physique mathématique, une matrice aléatoire est une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires. La théorie des matrices aléatoires a pour objectif de comprendre certaines propriétés de ces matrices, comme leur norme d'opérateur, leurs valeurs propres ou leurs valeurs singulières. Face à la complexité croissante des spectres nucléaires observés expérimentalement dans les années 1950, Wigner a suggéré de remplacer l'opérateur hamiltonien du noyau par une matrice aléatoire. Cette hypothèse féconde a conduit au développement rapide d'un nouveau champ de recherche très actif en physique théorique, qui s'est propagé à la théorie des nombres en mathématiques, avec notamment une connexion intéressante avec la fonction zêta de Riemann (voir par exemple l'article prépublié en par Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen et Don Zagier et les commentaires (en anglais) de Robert C. Smith sur son blog). En plus de ces exemples on compte parmi les applications de la théorie des matrices aléatoires : les systèmes intégrables, le chaos quantique, la chromodynamique quantique sur réseau, la gravité quantique en deux dimensions et plus via la théorie des cordes et la Correspondance AdS/CFT, les théories de jauge supersymétriques. Les matrices aléatoires se retrouvent aussi dans quantité de situations du quotidien : temps d'attente de la rame du métro, tsunamis, cours de bourse, antennes de téléphonie mobile, position des arbres dans une forêt sauvage, durée d'embarquement dans un avion, etc. Elles se sont par ailleurs révélées fécondes en biologie : forme des protéines, cristaux, etc. Une matrice de Wigner est une matrice aléatoire symétrique dont les entrées sont des variables aléatoires centrées indépendantes et identiquement distribuées (iid). Par exemple, si est une famille de variables aléatoires iid suivant une Loi de Rademacher, la matrice symétrique définie par : est une matrice de Wigner. Ce sont les ensembles introduits par Wigner pour la théorie des spectres nucléaires.