En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe. Dans cet article, Γ est un arc orienté dans R, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée t ↦ γ(t), avec t ∈ [a, b]. On définit l'intégrale curviligne d'un champ scalaire continu comme l'intégrale de Stieltjes de f∘γ par rapport à l'abscisse curviligne s(t) (longueur de l'arc γ restreint à [a, t]) : c'est-à-dire la limite, quand le pas de la subdivision pointée de [a, b] tend vers 0, des sommes de Riemann associées : où la subdivision pointée est notée : a = t < t < ... < t = b, t' ∈ [t, t]. Cette définition ne dépend pas du paramétrage de Γ, ni de l'orientation. La longueur s(b) de l'arc Γ est l'intégrale curviligne de la fonction constante 1. Si γ est de classe C, On définit également la circulation le long de Γ d'un champ vectoriel continu comme une intégrale de Stieltjes : où ∙ désigne le produit scalaire. Cette définition ne dépend pas du paramétrage de Γ mais dépend de l'orientation (l'intégrale est changée en son opposée quand la courbe est parcourue en sens inverse). On peut reformuler cette définition en notant ω la 1-forme différentielle « produit scalaire par f » : si ω est une 1-forme différentielle continue sur le support de Γ, on définit l'intégrale curviligne de ω le long de Γ par : où ⟨∙, ∙⟩ est le crochet de dualité. Si γ est de classe C, Pour n = 2 et en identifiant R au plan complexe, on définit l'intégrale curviligne d'une fonction continue comme l'intégrale de la 1-forme différentielle : Si γ est de classe C, Lorsque Γ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident), il arrive qu'on utilise la notation : Soit la fonction f(z) = 1/z, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par eit, avec t parcourant [0, 2π].

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Concepts associés (20)
Stokes' theorem
Stokes' theorem, also known as the Kelvin–Stokes theorem after Lord Kelvin and George Stokes, the fundamental theorem for curls or simply the curl theorem, is a theorem in vector calculus on . Given a vector field, the theorem relates the integral of the curl of the vector field over some surface, to the line integral of the vector field around the boundary of the surface. The classical theorem of Stokes can be stated in one sentence: The line integral of a vector field over a loop is equal to the flux of its curl through the enclosed surface.
Orientation de courbe
En mathématiques, une courbe orientée positivement est une courbe fermée simple plane (c'est-à-dire une courbe dans le plan dont le point de départ est également le point final et qui n'a pas d'autres intersections propres) de telle sorte que lorsque l'on se déplace dessus, on a toujours la courbe intérieur à gauche (et par conséquent, la courbe extérieure à droite). Si dans la définition ci-dessus on échange gauche et droite, on obtient une courbe orientée négativement .
Méthodes de calcul d'intégrales de contour
En analyse complexe, lintégration de contour est une technique de calcul d'intégrale le long de chemins sur le plan complexe L'intégration de contour est fortement liée au calculs de résidus, une méthode de calcul utilisée pour évaluer des intégrales curvilignes sur l'axe des réelles, que les outils de la théorie de l'intégration ne permettent pas de calculer par une simple analyse réelle Les méthodes d'intégration de contour incluent : l'intégration directe d'une fonction à valeurs complexes le long d'une c
Afficher plus

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.