En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Ce résultat a été introduit par Guido Fubini en 1907. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres. On peut changer l'ordre d'intégration si l'intégrable double de la valeur absolue de la fonction est finie : théorème|Théorème de Fubini-Lebesgue|Soient et deux espaces mesurés complets (non nécessairement σ-finis) et l'espace mesurable produit muni dune'' mesure produit ζ. Si est ζ-intégrable, alors les fonctions (définies presque partout) sont respectivement μ- et ν-intégrables et Le premier théorème est faux si l'on ne suppose pas les mesures σ-finies. Dans le cas particulier où l'un des deux espaces est N muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve respectivement le théorème de convergence monotone et le corollaire du théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions. Lorsque les deux mesures sont σ-finies, l'utilisation du théorème de Fubini-Tonelli permet souvent de démontrer qu'une fonction mesurable est intégrable. En effet, pour -mesurable, on peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli à , ce qui donne donc si l'une des intégrales est finie, alors toutes trois le sont et est intégrable. On a alors d'après le théorème de Fubini-Lebesgue ce qui facilite le calcul de l'intégrale. Le produit de convolution de deux fonctions intégrables est lui-même intégrable. Calcul de l'intégrale de Gauss, . Considérons On a En échangeant les rôles de et , on a donc ce qui — puisque le théorème de Fubini ne s'applique pas ici — prouve que Considérons l'ensemble . Munissons-le d'une part de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue et d'autre part de la tribu discrète et de la mesure de comptage . La diagonale est un fermé de , donc La fonction indicatrice 1'''Δ est donc mesurable sur l'espace produit considéré.

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Concepts associés (3)
Intégrale de Lebesgue
En mathématiques, l’intégrale de Lebesgue désigne à la fois une théorie relative à l'intégration et à la mesure, et le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs réelles définie sur (ou sur ) muni de la mesure de Lebesgue. Généralisant l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en analyse, en théorie des probabilités et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques. Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive f peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des x (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction f.
Complétion d'une mesure
En mathématiques, une mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable pour cette mesure appartient à la tribu sur laquelle μ est définie. Lorsqu'une mesure n'est pas complète, il existe un procédé assez simple de complétion de la mesure, c'est-à-dire de construction d'une mesure complète apparentée de très près à la mesure initiale. Ainsi la mesure de Lebesgue (considérée comme mesure sur la tribu de Lebesgue) est la complétion de la mesure dite parfois « mesure de Borel-Lebesgue », c'est-à-dire sa restriction à la tribu borélienne.
Mesure sigma-finie
Soit (X, Σ, μ) un espace mesuré. On dit que la mesure μ est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite (E) d'éléments de la tribu Σ, tous de mesure finie, avec Mesure finie Mesure de comptage sur un ensemble dénombrable Mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des intervalles pour tous les nombres entiers est un recouvrement dénombrable de , et chacun des intervalles est de mesure 1.

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