Théorème de Fubini

Résumé

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Ce résultat a été introduit par Guido Fubini en 1907. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres. On peut changer l'ordre d'intégration si l'intégrable double de la valeur absolue de la fonction est finie : , \iint\limits_{X\times Y} f(x,y),\text{d}(x,y) = \int_X\left(\int_Y f(x,y),\text{d}y\right)\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y) , \text{d}x \right) \text{d}y \qquad \text{ si } \qquad \iint\limits_{X\times Y} |f(x,y)|,\text{d}(x,y)

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fubini

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Interface control domain decomposition methods for heterogeneous problems

Marco Discacciati, Alfio Quarteroni

This paper is concerned with the solution of heterogeneous problems by the interface control domain decomposition (ICDD) method, a strategy introduced for the solution of partial differential equations in computational domains partitioned into subdomains that overlap. After reformulating the original boundary value problem by introducing new additional control variables, the unknown traces of the solution at internal subdomain interfaces; the latter are determined by requiring that the (a priori) independent solutions in each subdomain undergo the minimization of a suitable cost functional.We provide an abstract formulation for coupled heterogeneous problems and a general theorem of well-posedness for the associated ICDD problem. Then, we illustrate and validate an efficient algorithm based on the solution of the Schur-complement system restricted solely to the interface control variables by considering two kinds of heterogeneous boundary value problems: the coupling between pure advection and advection-diffusion equations and the coupling between Stokes and Darcy equations. In the latter case, we also compare the ICDD method with a classical approach based on the Beavers-Joseph-Saffman conditions. Copyright (c) 2014 John Wiley & Sons, Ltd.

Wiley-Blackwell2014

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Openness And Convexity For Momentum Maps

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The purpose of this paper is finding the essential attributes underlying the convexity theorems for momentum maps. It is shown that they are of a topological nature; more specifically, we show that convexity follows if the map is open onto its image and has the so-called local convexity data property. These conditions are satisfied in all the classical convexity theorems and hence they can, in principle, be obtained as corollaries of a more general theorem that has only these two hypotheses. We also prove a generalization of the so-called Local-to-Global Principle that only requires the map to be closed and to have a normal topological space as domain, instead of using a properness condition. This allows us to generalize the Flaschka-Ratiu convexity theorem to noncompact manifolds.

2009

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