Limite (mathématiques élémentaires)

La notion de limite est très intuitive malgré sa formulation abstraite. Pour les mathématiques élémentaires, il convient de distinguer une limite en un point réel fini (pour une fonction numérique) et une limite en ou (pour une fonction numérique ou une suite), ces deux cas apparemment différents pouvant être unifiés à travers la notion topologique de voisinage. Les limites servent (entre autres) à définir les notions fondamentales de continuité et de dérivabilité. Pour une présentation générale, plus complète et plus abstraite, se référer à Limite (mathématiques). On s'intéresse ici à une fonction numérique f d'une variable réelle, de domaine de définition D, et à un réel p « adhérent à D » — intuitivement il est possible de s'approcher infiniment près du point p, sans obligatoirement l'atteindre, en restant à l'intérieur du domaine de définition de f — et même, pour simplifier, tel que D contienne un intervalle de la forme ]p, p + h] ou [p – h, p[ pour un certain h > 0. Ainsi, lorsque D est un intervalle (ouvert ou fermé) non vide dont les bornes sont a et b, on peut chercher une limite en tout point de l'intervalle fermé [a, b]. On peut aussi, par exemple, chercher la limite de la fonction en tout point de . En revanche, on ne cherchera pas de limite en 0 pour les fonctions ou car 0 n'est pas adhérent au domaine de définition. vignette|Pour tout x δ-proche de c, f(x) est ε-proche de L. Si f est une fonction numérique et p un point de , on dit que le réel L est la limite de f en p si : intuitivement : f(x) se rapproche de L à mesure que x se rapproche de p ; plus rigoureusement, pour tout « écart de tolérance » ε > 0, on peut trouver un « écart de confiance » δ > 0 tel que, dès que x (appartenant à D) est proche de p à δ près, f(x) est proche de L à ε près :. Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi proche de L que souhaité, en restreignant les valeurs de x à un intervalle suffisamment petit autour de p. Dans ce cas, on écrit .