Quasi-catégorie

En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une quasi-catégorie est une généralisation de la notion de catégorie. L'étude de telles généralisations est connue sous le nom de théorie des catégories supérieures. Les quasi-catégories ont été introduites par et Vogt en 1973. André Joyal a fait beaucoup progresser l'étude des quasi-catégories en montrant qu’il existe un analogue pour les quasi-catégories de la plupart des notions de base de la théorie des catégories et même de certaines notions et théorèmes d’un niveau plus avancé. Jacob Lurie a écrit un traité détaillé sur cette théorie en 2009. Les quasi-catégories sont des ensembles simpliciaux d’un type particulier. Comme les catégories ordinaires, elles contiennent des objets, les 0-simplexes de l'ensemble simplicial et des morphismes entre ces objets, les 1-simplexes. Mais contrairement aux catégories standard, la composition de deux morphismes n'est pas définie de manière unique. Tous les morphismes qui peuvent servir de composition entre deux morphismes donnés sont reliés entre eux par des morphismes inversibles d'ordre supérieur (2-simplexes considérés comme « homotopies »). Ces morphismes d'ordre supérieur peuvent également être composés, mais encore une fois la composition n'est bien définie qu'à des morphismes inversibles d’ordre encore plus élevé près, etc. L'idée sous-jacente de la théorie des catégories supérieures (du moins lorsque les morphismes supérieurs sont inversibles) est de munir, contrairement à ce que l’on fait en théorie des catégories standard, l’ensemble des morphismes entre deux objets d’une structure d’espace topologique. Cela suggère qu'une catégorie supérieure devrait simplement être une catégorie topologiquement enrichie. Le modèle des quasi-catégories est toutefois mieux adapté aux applications que celui des catégories topologiquement enrichies, bien que Lurie ait prouvé que les deux ont des modèles naturels . Par définition, une quasi-catégorie C est un ensemble simplicial satisfaisant les conditions internes de Kan : toute « corne de C » (application simpliciale de dans C avec ) possède un prolongement de dans C.