Formule de Perron

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la fonction sommatoire () d'une fonction arithmétique, au moyen d'une transformation de Mellin inverse de la série de Dirichlet associée. Soient (a(n)) une fonction arithmétique etoù l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être multiplié par 1/2 quand x est entier.Nous supposons que la série de Dirichlet classique admet une abscisse de convergence simple finie σ.Alors, la formule de Perron est : pour tous réels c > max(0, σ) et x > 0,où l'intégrale est semi-convergente pour x non entier et converge en valeur principale pour x entier. Pour une série de Dirichlet générale, de la formeon a de même, pour tous nombres réels c > max(0, σ) et y ∊ ]λ, λ[, Soit pour , d'abscisse de convergence absolue finie . Alors on a, si Soit pour , d'abscisse de convergence absolue finie , et où pour une fonction croissante (au sens large). On suppose de plus que, pour un nombre réel , quand Alors on a, si Pour les trois formules concernant les séries de Dirichlet classiques, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus. Il reste ensuite à multiplier par a/n et sommer sur n. Une preuve de la formule de Perron pour une série de Dirichlet classique consiste à appliquer d'abord ce lemme lorsque c est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue σ de la série. Si on a seulement c > σ, alors c + 1 > σ et le théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.