Algèbre de Lie

En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, alternée, et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. Soit K un corps commutatif. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel sur K muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Le produit est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de et . Puisque le crochet est une fonction bilinéaire alternée de , il est aussi antisymétrique : pour tous dans . L'identité (2) ci-dessus est appelée l'identité de Jacobi. Une sous-algèbre de Lie de est un sous-espace vectoriel de stable pour le crochet de Lie. Toute sous-algèbre de Lie de est munie de manière évidente d'une structure d'algèbre de Lie sur K. Remarque : contrairement aux algèbres tensorielles (et aux algèbres de Clifford, dont les algèbres extérieures), les algèbres de Lie ne sont ni unitaires, ni associatives. Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie en posant, . Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne. À partir d'une algèbre associative sur un corps , on peut construire une algèbre de Lie de la façon suivante : on pose (c'est le commutateur des deux éléments x et y). Il est facile de vérifier que l'on définit ainsi sur une structure d'algèbre de Lie. Inversement, toute algèbre de Lie est contenue dans une algèbre associative, appelée algèbre enveloppante, dans laquelle le crochet de Lie coïncide avec le crochet défini ci-dessus. Si est non abélienne (et donc si son crochet de Lie est non nul), son algèbre enveloppante est beaucoup plus grande qu'elle-même. Comme exemple concret de la situation ci-dessus, considérons , l'espace des matrices à coefficients dans K. C'est une algèbre associative pour le produit matriciel usuel. On peut donc également lui donner une structure d'algèbre de Lie, avec le crochet .

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