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Concept
Figure de sommet
Résumé
En géométrie, une figure de sommet d'un sommet donné d'un polytope est, de façon intuitive, l'ensemble des points directement reliés à ce sommet par une arête. Ceci s’applique également aux pavages infinis, ou pavages remplissant l’espace avec des cellules polytopiques.
De façon plus précise, une figure de sommet pour un n-polytope est un (n-1)-polytope. Ainsi, une figure de sommet pour un polyèdre est une figure polygonale, et la figure de sommet pour un polychore est une figure polyèdrique. Le (n-1)-polytope, figure de sommet correspondant à un sommet A donné du n-polytope, est défini comme suit :
Chaque sommet de la figure de sommet correspond à une arête du polytope original, issu de A.
Chaque arête de la figure de sommet correspond à une face du polytope original, et relie deux sommets consécutifs de la figure de sommet qui correspondent dans le polytope initial à deux arêtes de cette même face.
Chaque face de la figure de sommet correspond à une 3-cellule du n-polytope original (pour n>3), ses arêtes correspondant dans le polytope initial à des faces appartenant à cette même 3-cellule.
... et ainsi de suite pour les éléments d’ordre plus élevés dans les polytopes d’ordres plus élevés.
Les figures de sommet sont les plus utiles pour les car une figure de sommet peut impliquer le polytope entier.
Pour les polyèdres, la figure de sommet peut être représentée par une notation de configuration de sommet, en listant les faces dans une suite autour du sommet. Par exemple 3.4.4.4 est un sommet avec un triangle et trois carrés, et il représente le petit rhombicuboctaèdre.
Si le polytope est de sommet uniforme, la figure de sommet existera dans une surface hyperplane du n-espace. En général, les figures de sommet n’ont pas besoin d’être planaires.
Comme les polyèdres non convexes, les figures de sommet peuvent aussi être non convexes. Les polytopes uniformes peuvent avoir des faces en polygones étoilés et des figures de sommet par exemple.
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Pavage de l'espace
Un pavage de l'espace est un ensemble de portions de l'espace euclidien de , par exemple des polyèdres, dont l'union est l'espace tout entier, sans interpénétration. Dans cet emploi le terme pavage est une généralisation à trois dimensions du concept de pavage du plan, lequel dérive directement du sens commun de , le recouvrement d'un sol par des pavés jointifs (des blocs de forme grossièrement cubique) : la surface d'un sol pavé se présente comme un assemblage de carrés jointifs.
Uniform polytope
In geometry, a uniform polytope of dimension three or higher is a vertex-transitive polytope bounded by uniform facets. The uniform polytopes in two dimensions are the regular polygons (the definition is different in 2 dimensions to exclude vertex-transitive even-sided polygons that alternate two different lengths of edges). This is a generalization of the older category of semiregular polytopes, but also includes the regular polytopes. Further, star regular faces and vertex figures (star polygons) are allowed, which greatly expand the possible solutions.
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