Processus de Lévy

En théorie des probabilités, un processus de Lévy, nommé d'après le mathématicien français Paul Lévy, est un processus stochastique en temps continu, continu à droite limité à gauche (càdlàg), partant de 0, dont les accroissements sont stationnaires et indépendants (cette notion est expliquée ci-dessous). Les exemples les plus connus sont le processus de Wiener et le processus de Poisson. Un processus stochastique est appelé processus de Lévy, si presque sûrement Accroissements indépendants : Pour tout sont indépendants Accroissements stationnaires : Pour tout , est égale en loi à est presque sûrement continue à droite et limitée à gauche (Càdlàg). Un processus stochastique à temps continu associe une variable aléatoire Xt à tout instant t ≥ 0. C'est donc une fonction aléatoire de t. Les accroissements d'un tel processus sont les différences Xs − Xt entre ses valeurs à différents instants t < s. Dire que les accroissements d'un processus sont indépendants signifie que les accroissements Xs − Xt et Xu − Xv sont des variables aléatoires indépendantes à partir du moment où les intervalles de temps ne se chevauchent pas, et plus généralement, tout nombre fini d'accroissements sur des intervalles de temps non chevauchant sont mutuellement indépendants (et pas seulement indépendants deux à deux). Dire que les accroissements sont stationnaires signifie que la loi de chaque accroissement Xs − Xt ne dépend que de la longueur s − t de l'intervalle de temps. Par exemple pour un processus de Wiener, la loi de Xs − Xt est une loi normale d'espérance 0 et de variance s − t. Pour un processus de Poisson homogène, la loi de Xs − Xt est une loi de Poisson d'espérance λ(s − t), où λ > 0 est l'"intensité" ou le "taux" du processus. Le processus de Lévy est en rapport avec les lois infiniment divisibles : Les lois des accroissements d'un processus de Lévy sont infiniment divisibles, les accroissements de longueur t étant la somme de n accroissements de longueur t/n qui sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) par hypothèse.