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Concept
Processus de Poisson
Résumé
vignette|Schéma expliquant le processus de Poisson
Un processus de Poisson, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson et la loi du même nom, est un processus de comptage classique dont l'équivalent discret est la somme d'un processus de Bernoulli. C'est le plus simple et le plus utilisé des processus modélisant une . C'est un processus de Markov, et même le plus simple des processus de naissance et de mort (ici un processus de naissance pur). Les moments de sauts d'un processus de Poisson forment un processus ponctuel qui est déterminantal pour la mesure de Lebesgue avec un noyau constant .
Le processus de Poisson d'intensité λ (réel strictement positif) est un processus de comptage d'occurrences qui vérifie les conditions suivantes :
Les nombres d'occurrences dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants.
La probabilité d'une occurrence dans un petit intervalle de temps est proportionnelle à la longueur de cet intervalle, le coefficient de proportionnalité étant .
La probabilité qu'il y ait plus d'une occurrence dans un petit intervalle de temps est négligeable.
Ces deux dernières conditions forment la propriété dite des « événements rares ».
Mathématiquement, ces propriétés se traduisent, si l'on note le processus de Poisson et la probabilité, par :
les variables aléatoires sont indépendantes ;
lorsque h → 0 (t étant fixé) ;
lorsque h → 0 (t étant fixé).
On déduit des deux dernières égalités que .
On démontre alors, par des résolutions d'équations différentielles d'ordre 1 et par récurrence, que pour un temps t donné (strictement positif), le nombre N d'occurrences dans un intervalle de longueur t suit une loi de Poisson d'intensité λt, c'est-à-dire que
quel que soit l'entier naturel k
Et on démontre enfin que les temps s'écoulant entre deux incrémentations du processus de comptage (rappelons que la probabilité que le processus de comptage augmente d'un coup de deux unités ou plus est nulle d'après la définition) sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre λ, c'est-à-dire que :
si alors les variables aléatoires sont indépendantes et , quel que soit t réel positif ou nul.
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