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Concept
Approximation affine
Résumé
En mathématiques, une approximation affine est une approximation d'une fonction au voisinage d'un point à l'aide d'une fonction affine. Une approximation affine sert principalement à simplifier un problème dont on peut obtenir une solution approchée.
Deux façons classiques d'obtenir une approximation affine de fonction passent par l'interpolation ou le développement limité à l’ordre 1.
Étant donné une fonction f définie et continue sur un intervalle [a , b] et dont on connait la valeur aux bornes, on peut approcher la courbe de la fonction par la corde d’équation
Si la fonction est de classe C, l’écart entre la valeur de la fonction et l’approximation affine par interpolation est contrôlée par un majorant de la valeur absolue de la dérivée seconde : si alors pour tout x ∈ [a , b] on a
Cette formulation ainsi que l’inégalité sont encore valables en dehors de l’intervalle [a , b], pour peu que la majoration de la dérivée seconde le soit aussi. Par passage à la limite de b vers a, on obtient l’approximation affine par développement limité ci-dessous.
L’interpolation affine est utilisée notamment pour définir la méthode des trapèzes en intégration numérique.
Étant donné une fonction dérivable f d'une variable réelle, et un réel a, la fonction ε définie par
vérifie
ε s'appelle le reste. Cette formule apparaît comme un cas particulier (n = 1) de la formule de Taylor : c'est un développement limité d'ordre 1.
Une approximation affine de f s'obtient en négligeant ce reste. La fonction constitue alors une approximation affine de f en a.
On écrit alors, pour x dans un voisinage de a :
L'expression de droite correspond à l'équation math|''y = f(a) + f (a)(x – a) de la tangente à la courbe représentative de f au point (a , f (a)), et pour cette raison, certains appellent cette méthode l'approximation tangente ou approximation affine tangente'''.
Il est aussi possible d'utiliser des approximations pour les fonctions vectorielles d'une variable vectorielle, dans laquelle f (a) est remplacée par une matrice jacobienne.
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