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Concept
Calotte sphérique
Résumé
thumb|Une sphère et les deux calottes sphériques découpées par un plan
En géométrie, une calotte sphérique est une portion de sphère délimitée par un plan. C'est un cas particulier de zone sphérique.
Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, on obtient un hémisphère.
Cette surface de révolution sert de délimitant à deux types de solides :
le secteur sphérique, portion de boule découpée par un cône
le segment sphérique à une base, portion de boule découpée par un plan.
thumb|Dimensions d'une calotte sphérique
Il existe plusieurs dimensions permettant de caractériser une calotte sphérique:
sa hauteur : h
le rayon de son cercle de base (c): a
le rayon de la sphère d'origine (s) : r
l'angle au centre entre le rayon passant par le pôle P de la calotte et un rayon passant par le cercle de base : θ
La connaissance de deux de ces dimensions permet de déterminer, à une exception près, les deux autres :
L'aire d'une calotte sphérique s'exprime, en fonction de ses dimensions, par les formules suivantes :
On retrouve ici facilement l'aire d'un hémisphère et d'une sphère .
L'aire d'une calotte sphérique est liée à l'angle solide interceptant le cercle (c) par la formule :
Comme dans tout surface de révolution, le centre de gravité G d'une calotte sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP) Il est de plus situé au milieu de la flèche.
C'est la portion de boule découpée par un plan. Son volume est donné par les formules:
Comme dans tout solide de révolution, le centre de gravité G du segment sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP). Sa distance du pôle P est donnée par:
Sa distance au centre est donc de :
thumb|Courbe engendrant, par rotation, la calotte sphérique
En considérant que la surface s'obtient en faisant tourner autour de l'axe des abscisses la portion de cercle d'équation
on peut utiliser la formule de calcul d'une surface de révolution
On obtient alors :
On peut aussi travailler en coordonnées sphériques (rayon, colatitude Φ, longitude φ) en intégrant l'élément de surface pour une sphère :
On obtien
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