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Dans l'étude des groupes, le quotient d'un groupe est une opération classique permettant la construction de nouveaux groupes à partir d'anciens. À partir d'un groupe G et d'un sous-groupe H de G, on peut définir une loi de groupe sur l'ensemble G/H des classes de G suivant H, à condition que le sous-groupe H soit normal, c'est-à-dire que les classes à droite soient égales aux classes à gauche (gH = Hg). Étant donné un élément g de G, nous définissons la classe à gauche gH = { gh | h ∈ H }. Comme g possède un élément symétrique, l'ensemble gH a le même cardinal que H. De plus, tout élément de G appartient à exactement une seule classe à gauche de H ; les classes à gauche sont les classes d'équivalence de la relation d'équivalence définie par g ~ g si et seulement si gg ∈ H. Le nombre de classes à gauche de H est appelé l'indice de H dans G et est noté [G:H]. Dans le cas d'un groupe fini, le théorème de Lagrange sur la cardinalité des sous-groupes, et la formule des classes permettent de voir que cet indice est fini et est un diviseur de l'ordre du groupe G. Les classes à droite sont définies de manière analogue : Hg = { hg | h ∈ H }. Elles sont aussi les classes d'équivalence pour une relation d'équivalence convenable et leur nombre est aussi égal à [G:H]. Si pour tout g ∈ G, gH = Hg, alors le sous-groupe H est dit normal. Dans ce cas (et dans ce cas seulement), la loi de groupe de G est compatible avec ~, ce qui permet de définir une multiplication sur les classes par Cela donne à l'ensemble quotient une structure de groupe ; ce groupe est appelé groupe quotient de G par H (ou parfois groupe des facteurs) et est noté G/H. L'application f : G → G/H, g ↦ gH est alors un morphisme de groupes. L'image directe f(H) n'est constituée que de l'élément neutre de G/H, à savoir la classe eH = H. L'application f est appelée morphisme canonique ou projection canonique. Les sous-quotients d'un groupe G sont par définition les quotients de sous-groupes de G. Les sous-groupes de quotients de G en font partie.

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Groupe (mathématiques)

vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.

Sous-groupe normal

En théorie des groupes, un sous-groupe normal (également appelé sous-groupe distingué ou sous-groupe invariantLien web|langue=fr|titre=Introduction à la théorie des groupes et de leurs représentations|auteur=Jean-Bernard Zuber|url=) H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.

Equivalence class

In mathematics, when the elements of some set have a notion of equivalence (formalized as an equivalence relation), then one may naturally split the set into equivalence classes. These equivalence classes are constructed so that elements and belong to the same equivalence class if, and only if, they are equivalent. Formally, given a set and an equivalence relation on the of an element in denoted by is the set of elements which are equivalent to It may be proven, from the defining properties of equivalence relations, that the equivalence classes form a partition of This partition—the set of equivalence classes—is sometimes called the quotient set or the quotient space of by and is denoted by .

Théorie des groupes : quotients de groupe MATH-211: Group Theory

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