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Concept
Nombre algébrique
Résumé
Un nombre algébrique, en mathématiques, est un nombre complexe solution d'une équation polynomiale à coefficients dans le corps des rationnels (autrement dit racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels).
Les nombres entiers et rationnels sont algébriques, ainsi que toutes les racines de ces nombres. Les nombres complexes qui ne sont pas algébriques, comme π et e (théorème de Lindemann-Weierstrass), sont dits transcendants. L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent fait partie de la théorie de Galois.
Tout nombre rationnel a est algébrique, car il est solution de l'équation x – a = 0.
Un nombre irrationnel peut être ou non algébrique. Par exemple ou ()/2 sont algébriques (car ils sont solutions de x – 2 = 0 et 8x – 3 = 0, respectivement), tandis que le nombre e est transcendant (c'est-à-dire non algébrique).
L'unité imaginaire i est algébrique, car il est solution de l'équation x + 1 = 0.
L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable — donc négligeable — puisque les polynômes non nuls à coefficients rationnels sont dénombrables et que chacun d'eux possède un nombre fini de zéros.
Le polynôme minimal d'un nombre algébrique est le polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus petit degré dont ce nombre est racine. Ce degré est appelé le degré du nombre algébrique. Par exemple, les nombres algébriques de degré 1 sont les rationnels ; i et sont algébriques de degré 2.
Tout nombre algébrique appartient au corps de rupture Q(x) de son polynôme minimal, qui est un corps de nombres c'est-à-dire une extension finie de Q. Réciproquement, tout élément d'un corps de nombres est algébrique. En particulier :
L'opposé et l'inverse d'un nombre algébrique non nul x sont algébriques, puisqu'ils appartiennent au corps de nombres Q(x) (on construit d'ailleurs très facilement leurs polynômes minimaux à partir de celui de x).
La somme et le produit de deux nombres algébriques x et y sont encore algébriques, puisqu'ils appartiennent au corps Q(x, y), qui est une extension finie de Q (le calcul de leurs polynômes minimaux est moins évident et passe par l'utilisation du résultant).
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