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Concept
Changement de base (algèbre linéaire)
Résumé
En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des applications linéaires et des formes bilinéaires.
Soient K un corps commutatif, E un K-espace vectoriel de dimension finie n, et B, B' deux bases de E.
Pour des raisons mnémotechniques, on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base. On observera que dans les deux premières descriptions données, les bases interviennent dans l'ordre opposé à celui de la terminologie. La troisième peut être détaillée ainsi : si et où pour , alors
Comme déjà mentionné, si un vecteur de E a pour coordonnées X et X' dans deux bases B et B', alors .
Considérons l'espace euclidien R muni de sa base canonique B(e1, e2, e3), « ancienne base », orthonormée directe.
Homothétie
La nouvelle base B'(e'1, e'2, e'3) est obtenue par une homothétie de facteur k. On a ainsi :
e'1 = k e1 ;
e'2 = k e2 ;
e'3 = k e3.
La matrice de passage s'écrit
Soit un vecteur x de composantes (X1, X2, X3) dans B et (X'1, X'2, X'3) dans B'. On a :
Rotation de la base
La nouvelle base B'(e'1, e'2, e'3) est obtenue par rotation d'un angle α autour de l'axe e3. On a ainsi :
e'1 = cos(α) e1 + sin(α) e2 ;
e'2 = –sin(α) e1 + cos(α) e2 ;
e'3 = e3.
La matrice de passage s'écrit
Soit un vecteur x de composantes (X1, X2, X3) dans B et (X'1, X'2, X'3) dans B'. On a :
En effet, d'après la règle de calcul de la matrice d'une composée :
Reprenons les exemples ci-dessus.
Homothétie
La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant k par 1/k, soit :
et donc
Rotation
La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant α par –α, soit :
(on remarque que c'est la transposée, PB'B = tPBB') et donc
En effet, .
Les matrices A et B sont alors dites équivalentes.
Dans le cas particulier d'un endomorphisme (i.e. F = E), si l'on choisit et (donc Q = P), les matrices A et B sont dites semblables.
Les matrices A et B sont alors dites congruentes.
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