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Concept
Aire (géométrie)
Résumé
thumb|L'aire du carré vaut ici 4.
En mathématiques, l'aire est une grandeur relative à certaines figures du plan ou des surfaces en géométrie dans l'espace.
Le développement de cette notion mathématique est lié à la rationalisation du calcul de grandeur de surfaces agricoles, par des techniques d'arpentage. Cette évaluation assortie d'une unité de mesure est aujourd'hui plutôt appelée superficie.
Informellement, l'aire permet d'exprimer un rapport de grandeur d'une figure relativement à une unité, par le biais de découpages et recollements, de déplacements et retournements et de passage à la limite par approximation. La mesure d'une aire peut être un nombre réel positif ou être infinie pour certaines surfaces comme le plan dans son ensemble.
Diverses techniques ont été élaborées pour mesurer une aire, de la méthode des indivisibles au calcul intégral et aux méthodes probabilistes comme la méthode de Monte-Carlo.
Dans un espace euclidien de dimension 2, un domaine a une aire s'il est un ensemble mesurable pour la mesure de Jordan et son aire est égale à cette mesure.
Théorie de la mesure
L'aire S d'une surface plane suit quatre propriétés :
L'aire d'une surface plane bornée est un nombre positif ou nul.
Une unité de longueur étant choisie, l'aire du carré de côté 1 est égale à 1.
L'aire est additive. Cela signifie que, les aires de deux surfaces disjointes A et B étant données, l'aire de leur union est la somme de leurs aires :
S(A ∪ B) = S(A) + S(B).
Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on « découpe » une figure, on obtient deux figures dont la somme des aires est égale à l'aire de la figure initiale.
L'aire est invariante par isométrie. Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie son aire.
La propriété d'additivité est étendue, par récurrence, à un entier naturel n supérieur à deux quelconque : si A, A... An sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives S(A), S(A)... S(An), alors
S(A ∪ A ∪... ∪An) = S(A) + S(A) +...
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