Déplacement hyperbolique

En géométrie, les déplacements hyperboliques sont les isométries d'un espace hyperbolique préservant l'orientation, autrement dit les transformations de cet espace préservant les distances et les angles (orientés), et en particulier conservant les alignements. Pour la composition des applications, ces déplacements forment un groupe topologique, et même un groupe de Lie ; ce groupe caractérise l'espace, selon une approche développée par Felix Klein dans son programme d'Erlangen. Comme en géométrie euclidienne, on montre que les déplacements peuvent s'exprimer comme composés de symétries orthogonales (qui sont des antidéplacements) ; cela permet de les classifier (par exemple en en déterminant les points fixes). Tout déplacement du plan (euclidien ou hyperbolique) peut s'écrire comme composé de deux symétries orthogonales par rapport à deux droites (plus généralement, les déplacements d'un espace à n dimensions peuvent s'écrire comme composées de n ou n+1 symétries orthogonales par rapport à des hyperplans, selon que n est pair ou impair). Dans le cas du plan hyperbolique, on aboutit aux trois classes suivantes : Les deux axes se coupent (ou sont confondus) : comme dans le plan euclidien, on obtient une rotation de centre le point d’intersection et d’angle le double de l’angle des axes. Les deux axes sont parallèles asymptotes ; ils se coupent en un point à l’infini C. Les orbites sont des apeirogones inscrits dans des horocycles de centre C. On appelle ce déplacement une horolation de centre C. Les deux axes sont ultraparallèles. Le déplacement est une translation sur la perpendiculaire commune aux deux axes ; les autres points ont pour orbites des apeirogones inscrits dans des hypercycles, ayant pour axe cette perpendiculaire commune. alt=semi-circles as hyperbolic lines|droite|vignette|For some hyperbolic motions in the half-plane see the Ultraparallel theorem. Dans le modèle du demi-plan de Poincaré, on représente les points par leurs coordonnées cartésiennes (x,y) avec y > 0 ou par leurs coordonnées polaires (x = r cos a, y = r sin a) avec 0 < a < π, r > 0.